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Achter Teil. Irrationalität und Transzendenz von e und .
oder schließlich:
|R| < x
(p
--
KP-1
1)!'
wo x und K feste positive Größen sind.
Multiplizieren wir nunmehr die vorgelegte Gleichung:
ea
-
= C
mit F(a, a', a”, . . ., ß, ß', ẞ",...) und betrachten die entstehende Glei-
chung als Kongruenz für die Primzahl p als Modul, so bekommt.
man rechts die für eine hinreichend große Primzahl p nicht ver-
schwindende ganze Zahl c. f(0)· g(0), und links wird die Summe der
Funktionen G eine symmetrische Funktion sowohl der a, a', a", ...
als auch der B, B', B", ..., also eine durch p teilbare ganze rationale
Zahl. Die verbleibenden Reste sind zusammengenommen absolut
kleiner als:
1
2. AP-
(p 1)!'
wo und bestimmte positive Größen sind. Die Reste werden also
für hinreichend große Werte p sicher gleich einem echten Bruch
sein, womit die Unmöglichkeit der Lindemannschen Gleichung I und
damit insbesondere die Transzendenz von e und oder die Unmög-
lichkeit der Quadratur konstruierbarer Kreis- und Hyperbelsektoren
durch algebraische Konstruktionsmittel bewiesen ist.
Schlußwort.
Damit hat nun auch das letzte große Problem der Alten seine
Erledigung, wenn auch in negativem Sinne, und damit unser System
der Konstruktionen und Approximationen seinen natürlichen Abschluß
gefunden. Denn vergegenwärtigen wir uns die doppelte Wurzel dieser
Erkenntnis: die eine ist die Einsicht in das algebraische Wesen der
Konstruktionen, die andere die algebraische Approximation der elemen-
taren Transzendenten. Das Resultat hätte in Hinblick auf die Ein-
fachheit der zu seiner Erreichung erforderlichen Mittel schon vor
anderthalb Jahrhunderten gefunden werden können, wenn
Grundsatz gefolgt wäre: einfache Probleme können durch einfache
Mittel erledigt werden.