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Achter Teil. Irrationalität und Transzendenz von e und .
in eine Gleichung derselben Art, aber mit einer nicht verschwindenden
Konstanten c übergeht.
Zum Beweise der Unmöglichkeit der Gleichung I müssen wir,
wie oben schon bemerkt, die Größen e, e, ... simultan durch
rationale Funktionen von a, a, ... zu approximieren suchen. Der ge-
meinsame Nenner dieser Funktionen ist, wenn man den Grad, bis zu
dem man in jeder der Größen a, a, ... aufsteigen darf, gleich p
annimmt, der folgende:
F(α, a', a",...)
- Σ (-1) +++ (?) (?)()
=
h, i, k, . . . = 0, 1,
...
[(n+1)p-h― i — k ·
(p-1)!
-1]
Betrachten wir zunächst diese Funktion und nehmen an, daß p eine
Primzahl ist, so werden offenbar alle Glieder dieser in a, a', a”, .
symmetrischen Funktion durch p teilbar bis auf das letzte, welches
gleich:
wird.
(− 1)" P (α a'´a” · · ·. )²= f(0) = f(0) (mod p),
1=
Um die zugehörigen Zähler zu finden, entwickeln wir das Produkt
e" F(α, a', a",...)
nach Potenzen von a, a', a", ... Berücksichtigen wir zunächst die-
jenigen Glieder, deren Ordnung geringer als np ist, so ergibt sich
wegen der oben S. 228 abgeleiteten Binomialformel I:
(1)-(1)(−1)+(?)(3)('7″)
( 2 ) − ( ? ) ( − 1 ) + ( ? ) ( 1 − 3) -
für ihre Summe:
k
Σ ( − 1 ) + * * · · (?) (??) · · · ("p — i
i, k, · · · = 0, 1, . . . p
h + i + k + ...
<np
...
h
Die Koeffizienten von G sind wegen:
h
=
-
(p-1)!
− 1 ) ( (n + 1) p − h - 1 - - - 1]
=
œ'α¹α"...
G(a; a', a"...).
(n + 1)p − h — i-k-1>p
sämtlich durch p teilbar.
-
---
Die Glieder, für deren Ordnung
np≤h + i + k + · · · < (n + 1)p
...
ist, erhalten zufolge der Binomialformel II auf S. 229 verschwindende
Koeffizienten.
Die noch übrigen Glieder, deren Ordnung
h + i + k + · · · ≥ (n+1)p
ist, erhalten gebrochene Koeffizienten. Die Summe dieser Glieder
bekommt durch Anwendung der Binomialformel III auf S. 229: