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Achter Teil. Irrationalität und Transzendenz von e und л.
00
2.2³µ³p Σ (+x)!
und das ist gleich
σ=0
00
< 2p+¹µ³p
1
μα
6! p!'
σ = 0
(2µ³)
2.
p!
also mit wachsendem p beliebig klein.
Ist speziell α=VD, a' = -VD, so ist demnach jede solche
Gleichung:
a (eVD + e - V¹³)
= C
für ganze Zahlen a, c, D unmöglich; andererseits bestehen aber die
Gleichungen:
2 cos nã
-
πέ
ennie-nni. ±2,
=
also ist niemals (nn) eine ganze Zahl, d. h. 2 ist irrational.
Dieser Beweis gestattet die Verallgemeinerung: Es ist stets
COS
V
m
n
und cos hyp
m
n
irrational, da sonst auch (s. S. 248 (5))
cos n
V
m
n
m
= cos Vmn
bzw. cos hyp n
= cos hyp Vmn
n
rational wäre. Infolgedessen ist auch
irrational, da sonst
tg
m
und tg hyp
m
n
tg² V
m
m
1+tg hyp
9
COS 21
m
n
und cos hyp 21
m
n
n
1+tg
V m
n
1 — tg hyp
V
m
n
n
rational wären.
Kapitel V.
Der allgemeine Transzendenzbeweis.
Nunmehr wollen wir den entsprechenden allgemeinen Beweis
für die Transzendenz von e und
Eine Lindemannsche Gleichung:
a ca+be+
entwickeln.¹)
0
mit algebraischen Zahlen a, b, ..., c, a, ß, ...
kann bekanntlich
durch Bildung der Norm über alle konjugierten Werte a, b, . . ., C,
1) Vahlen, Math. Ann. 53 (1900), p. 457.