Kapitel IV. Das allgemeine Beweisprinzip und die zwei einfachsten Fälle. 335
der Koeffizient von
(-1) (?) a' wird:
-
Σ ( − 1 ) ( 2 ) (3 p − h − i − 1)!
h+k = l
· 4
h
k!
also, genau wie oben, nur daß statt 2p-h-1 steht 3p-h-i-1;
demnach erhalten wir für diese Glieder:
G (α; c') = Σ (− 1)' (?) (² ² — — ¹)
i = 0, 1, ..., P
l+ i < 2 p
-
1) (3pli — 1)!
α a'i
(p-1)!
Die Glieder von der Ordnung größer oder gleich 2p, kleiner als
3p erhalten in derselben Weise verschwindende Koeffizienten, die
übrigen Glieder werden wieder:
(1+i−3p+1)(l+i—3p+2) ... (1+i-2P) a' a¹.
R(«;a')=(−1)» Σ(−1); +i-
i = 0, . . ., p
1+i≥3p
...
7 (7 — 1) · · · (2p — i) · (p − 1)!
-
Die entsprechenden Entwicklungen gelten für das Produkt e'. F(a, a').
Wir haben also die beiden Approximationen:
e" F(α, a') = G(α; a') + R(a; α'), e«'F' (a, a') = G(a'; a) + R(a'; a).
Infolgedessen wird die gegebene Gleichung:
--
cF(α, a') — a(G(a; a') + G (α'; α)) = a{R(a; a') + R(a'; a)}.
Hier steht wieder links eine ganze, und zwar nicht verschwindende
ganze Zahl, denn F(a, c) und G(a; a')+ G(a'; a) sind ganze sym-
metrische Funktionen von a und a', also ganze rationale Funktionen
von A, B, also ganzzahlig; überdies sind alle Koeffizienten durch p
teilbar, außer dem letzten von F; das letzte Glied von F wird (aα')º,
also abgesehen von Vielfachen von p, gleich B. Rechts steht eine
beliebig kleine Zahl, denn es wird:
R(α; a') + R(α'; α) <│R(a; a')| +R(a'; a)|
<2Σ (*)
Σ(3)
(3p+ o
-
(6+1) (6+2). · · (6 + p)
i) (3p+o-i — 1)
...
(2p — i) (p
− 1) ! M ³p.
+o
wenn mit u der größere der beiden absoluten Werte a, a', ferner
1
mit ☛ die Summe 1 + i −3p bezeichnet wird; ersetzt man noch (?)
durch
Ź
i=0
'(?) = 2º, und überall i durch p und
(o+p) (o+p-1) (61)
(6+2p) (6+2p-1)
...
(6+p+1)
durch 1, so erhält man