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Achter Teil. Irrationalität und Transzendenz von e und л.
=
exie-xi 2 cos x die Transzendenz von x bei jedem algebraischen
cos x, oder die Transzendenz von cos x bei jedem algebraischen x,
also die Unmöglichkeit der Quadratur konstruierbarer Kreis- oder
Hyperbelsektoren. Dieser Beweis beruht auf Integrationen über kom-
plexen Wegen; er ist später von Weierstraß¹), Stieltjes 2) Hilbert³),
Hurwitz¹), Gordan5), Mertens) und dem Verfasser') nach und nach
derartig vereinfacht worden, daß dieser letzte Beweis nur noch die
elementarsten Hilfsmittel beansprucht.8)
-
"
Alle diese Beweise, von denen wir weiter unten den letzten und
einfachsten entwickeln werden, beruhen auf der Approximation der
Funktion et durch rationale Funktionen von x. Der einfachste Fall
der Hermite Lindemannschen Gleichung: aec für ganze Zahlen
a, c, a und der nächst einfache Fall a (e"+e) = c für ganze Zahlen
a, c, a + ά, aa' sollen vorweg behandelt werden. Dadurch wird
das nahe Verhältnis zu den Lambert - Hermiteschen Beweisen für
und π² besonders deutlich, und man erkennt, daß der allgemeine Be-
weis im wesentlichen nur eine Weiterbildung dieser speziellen Be-
weise ist. Auch erkennt man, daß es für die Einfachheit gleich-
gültig ist, ob die Exponenten ganze rationale oder algebraische Zahlen
sind; die Einfachheit hängt vielmehr nur von der Anzahl der Glieder der
Gleichung ab. Demnach konnte der zu entwickelnde Beweis sofort aus
dem Hermiteschen für die Transzendenz von e entnommen werden, wenn
nur diesen Beweis von allen unnötigen, den Kern der Sache
verhüllenden Komplikationen befreit hätte. Dieser Kern ist für den
einfachsten Fall einer zweigliedrigen Gleichung aec dieser: Man
G (α)
stelle e näherungsweise durch eine rationale Funktion dar, so
daß die Entwicklung e« F(α) — G (a) = R(a) mit einer möglichst hohen
Potenz von a beginnt. Dann ist nur noch zu zeigen, daß der Rest
R(a) beliebig klein gemacht werden kann, während cF(a) – a G(α)
eine nicht verschwindende Zahl ist.
F(a)
-
Für den Fall einer mehrgliedrigen Hermite-Lindemannschen
Gleichung:
ae*+be+
•
= C
hat man ebenso die Funktionen et, e", ... simultan durch rationale
Brüche:
=
1) Berl Akad. Ber. 1885, p. 1067.
3) Math. Ann. 43 (1893), p. 216
4) Math. Ann. 43 (1893), p. 220
5) Math. Ann. 43 (1893), p 222.
-
2) C. R. 110 (Paris 1890), p. 267.
Gött. Nachr. 1893, p. 113.
Gött. Nachr. 1893, p. 153.
6) Wien. Ber. math -nat. Kl. CV. IIa (1896), p. 839.
7) Math. Ann. 53 (1900), p. 457.
8) Über die Ideenentwicklung in diesen Beweisen s. namentlich Spaczinskis
Bote für Experimentalphysik und elementare Mathematik 1900 Nr. 286, 287,
290, 291 (Odessa 1900).