Kapitel IV. Das allgemeine Beweisprinzip und die zwei einfachsten Fälle. 331
scheidung zwischen abzählbaren und nicht abzählbaren Mengen: „Eine
Menge heißt abzählbar, wenn ihre Elemente der Reihe der natürlichen
Zahlen 1, 2, 3, 4, ... eindeutig zugeordnet werden können."
"
Dann läßt sich sofort nachweisen, daß die Menge aller algebra-
ischen Zahlen abzählbar ist. Denn bezeichnet man die Summe des
Grades und der absoluten Beträge der Koeffizienten einer ganzzahligen
algebraischen Gleichung als die „Höhe" dieser Gleichung und ihrer
Wurzeln, so gehören zu jeder Höhe offenbar nur eine endliche Zahl
von algebraischen Gleichungen, also auch nur eine endliche Zahl
von reellen algebraischen Zahlen. Ordnet man alle reellen algebra-
ischen Zahlen nach ihrer Höhe und die von gleicher Höhe nach ihrer
Größe, so hat man damit eine Anordnung aller reellen algebraischen
Zahlen in eine Reihe, woraus ihre Abzählbarkeit folgt. Nunmehr ist
es leicht, Zahlen anzugeben, die von allen algebraischen Zahlen ver-
schieden sind, die also transzendent sein müssen. Denkt man sich
nämlich die sämtlichen reellen algebraischen Zahlen der Reihe nach
in Kettenbrüche entwickelt und bildet eine Zahl, die in dem ersten
Teilnenner von der ersten algebraischen Zahl, in dem zweiten u
von der zweiten usw. differiert, so ist dies eine Zahl, die von allen
algebraischen Zahlen verschieden, also transzendent ist.
Ebenso leicht beweist man übrigens den allgemeineren Satz: Es
gibt keine endliche oder abzählbare Anzahl von transzendenten Zahlen,
so daß alle übrigen transzendenten Zahlen von diesen algebraisch
abhängen.¹)
Kapitel IV.
Das allgemeine Beweisprinzip und die zwei
einfachsten Fälle.
Der Hermitesche Beweis) der Unmöglichkeit einer Gleichung
von der Form:
aem+ben + ce² +
...
-
0
mit ganzen Zahlen a, b, c, .., m, n, p, . ist von Lindemann ³) auf
den allgemeineren Fall ausgedehnt worden, daß diese Zahlen algebra-
ische Zahlen sind. Dieser Lindemannsche Satz umfaßt natürlich mit
Rücksicht auf die Gleichung:
eri +1:
-
0
zugleich die Transzendenz von und mit Rücksicht auf die Gleichung
1) Vahlen, Gött. gel. Anz. 1901, p. 796.
2) Comptes rendus 77 (Paris 1873), p. 18, 74, 226, 285. Sur la fonction ex-
ponentielle. Paris 1874. 3) Berl. Akad. Ber. 1882 II, p. 679.