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Achter Teil. Irrationalität und Transzendenz von e und л.
algebraischen Zahlen statthat. Man kann diesem Gesetz andere
Formen geben. Es ist
also:
Pk
qk
da PAI-1kPk-1 =
-
X 0
xo
-
k
Pk-1"+P
+9x
-
Ik-17k
ľk
9% (-1x+9x-2)
k
1 ist; demnach wird:
k
rk
-
Lk (I k − 1 ** + Î k − 2 )
1
rk
< 'f'(xo)' q¿",
<\f'(xo)\q,”-³, und [+] d. h. µ‚½<\f″ (x0) 9,″-².
n-2
SO
also um so mehr
Bildet man also einen Kettenbruch, so daß stets > A⋅ q,"-9,
wird durch ihn keine algebraische Zahl nter Ordnung dargestellt, also
keine algebraische Zahl, wenn man hier n mit k unbegrenzt wachsen
läßt. Z. B. ist für den Kettenbruch
1
1
1+
3+1
5+
jedenfalls von irgendeinem Gliede ab immer > A, für irgendeine
gegebene Zahl A; also ist die obige Bedingung, in der n = 2 gesetzt
wird, erfüllt, d. h. der Kettenbruch
1
1
1+
3+
ist nicht algebraisch von der zweiten Ordnung. Aber schon bei
einem viel schwächeren Wachsen¹) der Teilnenner u, als es dem Liou-
villeschen Transzendenzkriterium > Aq"-2 entspricht, kann ein
Kettenbruch einen transzendenten Wert haben. Darum versagt seine
Anwendung z. B. bei den Entwicklungen von
1
en
1
-
e
en + e
1
n
1
1
1
n
n +
3n+1
5n+.
Auf anderen Betrachtungen beruht der Cantorsche Beweis der
Existenz transzendenter Zahlen.) Er gründet sich auf die Unter-
1) Aus dem Cantorschen Existenzbeweis transzendenter Zahlen (s. u.) folgt
sogar, daß es unendlich viele transzendente Kettenbrüche gibt, in denen µ, µ,
g,... unter irgendeiner vorgeschriebenen Grenze >1 bleiben.
2) Crelles J. 77 (1874), p. 258.