Kapitel III. Existenz transzendenter Zahlen.
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Kapitel III.
Existenz transzendenter Zahlen nach Liouville
und Cantor.
Die Frage nach der Transzendenz von e und hatte eigentlich
erst von dem Augenblick an einen rechten Sinn, nachdem die Existenz
transzendenter Zahlen durch Liouville bewiesen war. Das Liouville-
sche Transzendenzkriterium ¹) für eine Zahl x beruht auf der Ketten-
bruchentwicklung der Zahl x。 bzw. auf den daraus folgenden Nähe-
rungswerten. Ist nämlich:
p
q
=
die Kettenbruchentwicklung, sind
Po
Lo
P.
=
=
Mor
4.
die Näherungswerte, ferner
1
Mo +
1
rk=
1
1
μk +1 +
die Reste für eine reelle algebraische Zahl xo, deren konjugierte x₁,
X21
n-
-1 heißen mögen, und
-
-1
f(x) = a(x-x)(x−x₁) · · · (x−x, − 1) = ax” + α₁x”−¹ +...
—
Pk
+ an
mit ganzzahligen ɑ, ɑ₁, a,..., a, so wird dif() eine ganze
a, a,
J
Zahl, also ≥1, und für hinreichend große k, da Pk
Ik
= xo wird:
a (Pk - x) (Pk — x2). . . ( Pk
-
ak
--
– X-1)
beliebig nahe gleich
a (x。—X₁) (X。 — X₂) ·
...
(x。— xn−1) = f'(x。).
Also wird:
1
Pk..
Xo
qk.
f'(x)·qk
Damit ist bereits die Art der Annäherung charakterisiert, die bei
1) Liouv. J. (1) 16 (1851), p. 134, 139.