Kapitel II. Irrationalität von e und e².
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Eine Ausdehnung dieser Beweise auf andere Potenzen von e ist.
nicht bekannt. Aber Liouville ¹) zeigt mit denselben einfachen
Grundgedanken, daß weder e noch e² einer quadratischen Gleichung
mit rationalen Koeffizienten genügen. In der Tat, bestünde eine
solche Gleichung
ae + be¹= c
(a > 0)
mit ganzen Zahlen a, b, c, so ergibt die Multiplikation mit (n − 1)!,
daß
α
n
a (1 +
1
n+1
1
+
(n+1)(n+2)
+...)
b
+(−1)" -
n
(1
1
-
1
+ (n + 1) (n + 2) + · · ·)
n + 1 (n+1)(n+2)
eine ganze Zahl werden müßte. Aber links steht bei passender Wahl
der Parität von n die Summe zweier positiver beliebig kleiner Brüche,
die also stets von Null verschieden ist.
Bestünde zweitens eine Gleichung:
ae²+bec,
(a > 0)
so ergäbe die Multiplikation mit (n-1); für eine hinreichend große
Zahl n, daß
2in
a
n
(1 +
2
+
n + 1
=
)+(−1)−1,2
2
1
-
+
n
n+1
.)
eine ganze Zahl sein müßte. Aber, da man q-2, nämlich n=2"+1
oder 2m+2 nehmen kann, ist das bei großem n wieder die
Summe zweier beliebig kleiner positiver Brüche usw.
Ebenso er-
gibt sich, daß weder tg noch tg 1 einer linearen oder einer qua-
1
2
dratischen Gleichung genügen können.
Aus der Kettenbruchentwicklung:
e 1
e + 1
oder
2+
2
1
e 1
1
1+
6+
6 +1
10+ 1
10+ 1
14+
14+
mußte bereits Euler die Irrationalität von e erkannt haben, wenn er
sie auch nicht ausdrücklich aussprach.) Ebenso aus der Entwicklung:
e² - 1
e²+1
1
1
1+
3+1
5+
1) Liouv. J. V (1840), p. 192, 193.
2) Introductio 1753 und Comm. Acad. Petr. IX 1737, (1744), p. 108.