Kapitel I. Irrationalität von л und я².
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Also ist die Tangente jedes rationalen Bogens irrational und dem-
nach auch umgekehrt der Bogen zu jeder rationalen Tangente irrational;
also z. B.:
irrational.
π
4
arc tg 1
Die Anwendung desselben Legendreschen Hilfssatzes auf:
m
m
n
n
m
tg hyp
n
m
m
e" + e
n
m
ergibt die Irrationalität hiervon, also auch von e".
Legendre beweist mit denselben Hilfsmitteln, daß auch 2 irrational
ist. In der Tat, setzt man in dem Kettenbruch, für tg x statt x den
Wert ein, so erhält man die Gleichung:
Π
0
=
also:
-
π
2
π
3
π2
5
π
2
π
m
Wäre nun 2 einer rationalen Zahl
gleich, so wäre:
n
m
3
m
5 n
m
7
9 n
was nach dem bewiesenen Hilfssatz unmöglich ist. Es scheint
nicht, daß man in derselben Weise die Irrationalität von tgm
tg√m und
Vm
n
tg hyp, also von e zeigen kann.
Dem Beweise Hermites¹) für die Irrationalität von л und л² kann
man eine solche Form geben, daß man einerseits die Beziehung zum
Lambertschen Beweise, andererseits den Keim zum allgemeinen Trans-
zendenzbeweis von e und darin deutlich erkennen kann. Hermite
sucht in dem Ausdruck U, (x) cosx+ V₁(x) sinx die ganzen Funktionen
1) Crelles J. 76 (1873), p. 303, 342.
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