Kapitel I. Irrationalität von л und 2.
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Kapitel I.
Irrationalität von und
nach Lambert, Gauss,
Legendre, Hermite.
Daß irrational ist, wurde zum ersten Male von Lambert be-
wiesen, der sogar den allgemeinen Satz ausspricht: zirkuläre und
logarithmische Größen rationaler Zahlen sind nicht Wurzeln rationaler
Gleichungen), und sagt: sein Beweis ließe sich dahin ausdehnen.
Dieser Beweis ist der folgende:
Aus dem Kettenbruch (S. 267) folgt:
tg
1
n
-
1
N-
1
3 n
1
5 n
7n
Der Wert eines solchen Kettenbruchs ist aber irrational; denn
die Kettenbruchentwicklung eines rationalen Bruches bricht ab. Dem-
nach ist tg für jede ganze Zahl n irrational. Dasselbe beweist er²)
,,außerordentlich scharfsinnig und im wesentlichen vollkommen ein-
wandfrei" 3) für den Kettenbruch:
n
m
m
tg n
m²
n
2
m
3 n
M2
5 n
7 n
m
also auch für tg hyp
also für e".
n'
Es sei nämlich
m
m
sin
=
M,
COS
=
N,
n
n
und man berechne R', R", R"" usw. aus den Formeln:
1) Briefwechsel hrsg. von Joh. II. Bernoulli; Brief an Holland vom
10. Januar 1768.
2) Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcen-
dentes circulaires et logarithmiques. Hist. Acad. Berl. 17, 1768 (année 1761!
s. o. S. 266), p. 265.
3) Pringsheim (Münch. Akad. Ber., math. phys. Kl. 28, 1898, p. 325)
macht zuerst hierauf aufmerksam, während früher (s. z. B. Rudio 1. c. und so-
gar auch jetzt noch Enriques II, p. 315, ferner Fricke in Gauss Werke VIII,
p. 29) die Ansicht verbreitet war, daß erst Legendre den fraglichen Satz
streng bewiesen hat. Aber bei Legendre fehlt jeder Konvergenz- und Gültig-
keitsbeweis.