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Achter Teil. Irrationalität und Transzendenz von e und л.
Gregorys Beweis wurde von Huygens ¹) einer vernichtenden Kritik
unterzogen. Er enthält jedoch einen sehr brauchbaren Gedanken ²):
Ein Archimedischer Algorithmus (S. 186) soll nicht gegen eine „,alge-
braische" Funktion der Ausgangsgrößen A, B konvergieren, weil eine
Funktion f(A, B), für welche
f(A, B) = f (VAB,
f(V
2 AB
A+VAB
ist, nicht algebraisch ist; d. h. bei Gregory 'explizit algebraisch', da man
den Unterschied natürlich noch nicht kannte. Daß es algebraische,
nicht explizit algebraische Größen gibt, z. B. Wurzeln allgemeiner
Gleichungen fünften Grades, bewies ja erst Abel.3) Gregory trans-
formiert die Funktionalgleichung in diese
f(x³ + x²y, xy²+ y³) = f(x²y + xy², 2xy³);
seine weiteren Schlüsse sind natürlich hinfällig. Aber aus seinem
Ansatz kann man in der Tat die Transzendenz zwar nicht von л,
aber immerhin von z. B. cos x beweisen, die erst Jac. Bernoulli 4)
bewies. Bestünde eine irreduktible algebraische Gleichung
dann wäre auch
F(x, cos x) = 0,
F(2x, 2 cosx-1) = 0;
also müßten die beiden Gleichungen
F(x, y) = 0, F(2x, 2y²-1) = 0
dieselbe Funktion y von x definieren. Es muß also mit Rücksicht
auf den Grad
F(2x, 2y² — 1) = F(x, y) · G(y)
sein. Setzt man x = 0, so muß mit F(0,
૩)
=
O auch
F(0, 2y2-1) = 0
sein; d. h. die Gleichung F(0, cos x) =0 hat mit jeder Wurzel cos x
auch cos 2x zur Wurzel, also auch cos 4x usw. Und da die Anzahl
der Wurzeln endlich ist, so muß schließlich 2x=2x+na sein,
d. h. x ein rationaler Teil von . Dies ausgeschlossen, ist also sicher
cos x keine algebraische Funktion von x.
1) Opera varia I, p. 405 ff.
2) Vgl. Heinrich, Bibl. math. II (1901), p. 77.
3) Crelles J. 1 (1826), p. 65
4) Paris Mém. 1702, p. 281.
Oeuvres (Christiania 1881) I, p. 66.
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