Achter Teil.
Irrationalität und Transzendenz von e und я.')
Einleitung. Ältere Versuche.
Die Frage nach der Quadratur des Kreises kommt, wie aus
dem früheren hervorgeht, darauf zurück, ob eine quadratisch
irrationale Zahl ist, bzw., wenn beliebige algebraische Konstruktions-
mittel zugelassen werden, ob eine algebraische Zahl ist. Zwar sind
in älterer Zeit die Versuche sehr zahlreich, die Quadratur mit
Zirkel und Lineal zu finden, aber doch taucht schon hier und da die
Vermutung auf, daß es sich um etwas Unmögliches handeln könnte.2)
Die ältesten Beweisversuche von Gregory ³), Lagny 4), Saurin 5),
Newton), Waring 7), Ruffini) mußten fehlschlagen; auch Euler)
hat Versuche in dieser Richtung unternommen; er weist darauf hin,
daß zunächst einmal die Irrationalität von bewiesen werden müßte,
daß aber daraus die Unmöglichkeit der Quadratur noch keineswegs
folgen würde.
1) Über die Geschichte des Problems vgl. F. Rudio, Archimedes, Huygens,
Lambert, Legendre. Leipzig 1892.
2) Schon Michael Stifel äußerte sich in diesem Sinne: Arithmetica integra
1544. Er unterscheidet ganz richtig zwischen mathematischen und physischen
Kreisen; letztere sind (praktisch) quadrierbar.
3) De vera circuli et hyperbolae quadratura.
4) Mém. Paris 1727, p. 124.
5) Mém. Paris 1720.
6) Principia I, 6. Lemma 28. Vgl. auch D. Melanderhjelm, Isaaci
Newtoni tractatus de quadratura curvarum . . . Stockholm 1762. Der Beweis
wurde von D'Alembert (Opuscula IV, 66) und Ruffini (s. u.) angegriffen.
7) Proprietates algebraicarum curvarum. Er behauptet, kein algebraisches
Oval ist quadrierbar. Vgl. Brougham, Phil. Trans. 88 (1798), p. 378; Routh,
Analytical View of Sir Isaacs Newtons Principia 1855, p. 73; Zeuthen, Bull.
de l'Ac. de Copenhague 1895.
8) Mem. della soc. ital. IX, 1801, p. 527; s. auch T. V. Caluso ib., p. 558.
9) Considerationes cyclometricae. Novi Comm. Acad. Petrop. XVI (1771),
p. 169. Der fragliche Satz wird wohl zum ersten Male ausgesprochen von
J. Chr. Sturm, Mathesis enucleata (Norimbergae 1689), p. 181, Prop. XLIII.
Vgl. auch Huygens, der sagt, daß durch Gregorys angeblichen Beweis noch nicht
einmal die Irrationalität von a bewiesen sei.