316
Siebenter Teil. Konstruktive Approximationen.
2n
Xx
Xx
-
ctg 3
2n
mit wachsendem n, oder was dasselbe ist, daß der Ausdruck:
mit
gegen O abnehmendem wegen
-
ctg §
ૐ
lim (*
(tg)
= 1
ξ=0
den Grenzwert O hat.
Die Descartessche Konstruktion entspricht dem Fall x = also
der Formel:
4
Π
π
-
tg
π
16
π
+ 1/2 tg 31/3 + 1/3 tg + tg +
RS
Q
D'
P
4
32
π
4
Seine Konstruktion war eine Zirkulatur des
Quadrates in folgender Weise: es sei das
Rechteck
ABB'Q = — OAA'P,
ebenso:
1
BCC'R = 1 AB B'Q,
CDD'S = 1 BCC'R
A BCD
dann ist OA der Durchmesser des dem Quadrat eingeschriebenen
Kreises, OB der Durchmesser des dem flächengleichen Achteck ein-
beschriebenen Kreises, OC der Durchmesser des dem flächengleichen
Sechzehneck einbeschriebenen Kreises usw.
Die Konstruktionen, die sich aus den Formeln von Nicolaus von
Cusa, Snellius, Gregory, Huygens, Newton, Lambert ergeben, haben wir
bereits im Anschluß an diese Formeln gebracht. Siehe S. 188–204.
In welcher Weise sie umgekehrt zur Arkufikation einer Strecke
zu brauchen sind, ist aus dem Beispiel S. 204 zu ersehen.
Die Gausssche Formel S. 206 würde eine außerordentlich genaue
Rektifikation ergeben.
Bei der Konstruktion nach gegebenen Formeln kommen die
Forderungen der Geometrographie zu ihrem vollsten Rechte. Schon
die bloße Konstruktion einer rationalen Zahl als Streckenverhältnis
kann in sehr verschiedener Weise erfolgen; es wird schwer sein,
für die Aufsuchung der einfachsten allgemeine Regeln zu geben, aber
in jedem einzelnen gegebenen Falle ist das natürlich ausführbar.