Kapitel IV. Rektifikation und Quadratur.
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=
OZ = x; zugleich wird AMOZ Sektor OMB. Durch diese Kon-
struktion wird übrigens die Konvergenz des Eulerschen Produktes
augenscheinlich.
Verwandelt man das Produkt in der Eulerschen Formel in
Summen:
COS
x
2
•
x
1
COS
4
---
2
(cos/1/1
COS x + cos
4
4
2x),
x
Ꮖ
COS
COS
•
x
COS
8
3
=
x + cos
x + cos
8
8
x + cos
8
17x),
so erhält man allgemein (wenn n eine Potenz von 2 ist):
1
COS
sin x
2n
x + cos x +
2n
...
+ cos
2n-1
2n
x
lim
n
х
N=∞
1
"
x
Man erhält also indem man das arithmetische Mittel der
Projektionen von cosec x auf die n ungeraden Teilungsgeraden des
Winkels in 2n Teile bildet, oder x, indem man das harmonische
Mittel der auf diesen Geraden liegenden Strecken konstruiert, deren
Projektionen sin x ergeben. Der besondere Fall x = findet sich
etwas allgemeiner bei Cauchy ¹): Projiziert man eine Strecke 1 auf
die n Durchmesser eines regulären 2n-Ecks, so wird das Mittel u
der Projektionen:
и
=
n
n
Σ
k=1
Also mit wachsendem n:
(9 + x)
cos (+
π
2
cos
μ
=
COS (-)
2n
π
n sin
2n
π
2
Euler leitet eine der Vietaschen analoge Formel 2) aus einer
Quadratur von Descartes ³) her:
1
1
ctg x
=
x
x
x
x
tg + tg + tg +
2
4
Man beweist dieselbe direkt, indem man
8
von der Identität ausgeht:
ctg x = 1/2 tg 1/2 + 1/2 ( 2/2
-
ctg =2/2),
x
x
x
in dem Klammerausdruck rechts dieselbe Formel für
anwendet usw. und berücksichtigt, daß der Ausdruck:
1) Exercices d'analyse mathématique.
2) Nov. Comm. Petrop. VIII (1760/61), p. 157.
3) Oeuvres ed. Cousin XI, p. 442.
x
anstatt x
2