Kapitel IV. Rektifikation und Quadratur.
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p(p² —1²) (p² — 3º) · · · ( p² — (2 k — 1)²)
(2k + 1)!
p-2k+1 p
=
22k.p
2
2k+3
2
Р
1 p+1
p+ 2k
-
...
•
2
2
1
3 p+2k
2
-
4p.
und eine Zahl wie
(a + b − 1)!
a! b!
ist
(2k+1)!
+2k
(P+3-1):
2k
2
!
(P = ¹) : (2 + 1): '
- (2k
ganz, wenn a, b unter sich, also
zu ab teilerfremd sind; das tritt für a
p
-
-
2k
2
b
=
2k + 1
"
4 sin³ p
=
VP
ein, denn ein Teiler wäre auch in 2a+b=p enthalten. Setzt man
-x, so erhält man die Gleichung:
sin p
sin q
=
p +ра₁x +раx² +· +pap-3x
p-3
2
p- 1
2
...
+ x
2
mit ganzen a₁, ɑq,
a
p- 3
2
Quadriert man, so kommt:
p = p² + pb₁x +
• ..
+ XP-1,
eine Gleichung, die nach dem Eisensteinschen Satze (S. 144) irre-
duktibel ist; also müßte p eine Gausssche Primzahl (S. 147) sein,
damit x oder sin q konstruierbar sein kann.
Der Fall p = 4 führt auf eine reine Gleichung dritten Grades
und scheint von Hippokrates, nach den Zeugnissen des Proklos-Ge-
minos und des Erathosthenes durch Einschaltung zweier geometrischer
Mittel behandelt worden zu sein. Auch Vieta¹) behandelte ihn.
Konstruktive Approximationen von л.
Die Näherungswerte von
-
Π 3
=
1
7+
15 +
1
1+
292 +
sind (Archimedes);
(Vitruv u. Dürer);
2 3 4
5
2
155
22 129
36
( 1 )² + (1) ²;
2
woraus sich eine einfache Quadratur ergibt;
6
7
8
9
43'
50'
579
64
=
3 2
8
1) Variorum de rebus mathematicis responsorum. lib. VIII.
1593.