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Siebenter Teil. Konstruktive Approximationen.
=
2
¿ algebraisch, ebenso (9) Vermutlich besteht nun der
Satz: Die pte Potenz, wo p algebraisch, einer algebraischen Zahl, ist
nur dann wieder eine algebraische Zahl, wenn p eine rationale Zahl
ist¹); dann folgt, daß 2 rational ist. In der Tat sind andere als
91
solche quadrierbaren Zweiecke bisher nicht gefunden worden.
Hippokrates hatte die folgenden Fälle gefunden:
√2. sin o
=
sin 24
-
√3. sin q
=
sin 34
ф 45°
√1+√3
(1)
cos P
-
(2)
2
√3. sin 29 =√2 sin 39
V33
Th. Clausen) fand auch die Fälle (2) und (3) und noch die
folgenden zwei:
cos 2 q
=
(3)
√5 sin 9 =
√5+4√5
sin 5q, cos 2 q
=
(2 90º) (4)
4
5
20
+
3
+1/20
3
√5 sin 39-V3 sin 59, cos 2 q
(2q>90°) (5)
Hinsichtlich der Möglichkeit weiterer Lösungen leitet Landau³)
einen einschränkenden Satz her, der sich auf den Fall bezieht, daß
1 eine Primzahl p ist. Dann bestände also diese Gleichung:
❤2
sin po
VP
sin 9,
und sing sollte konstruierbar sein. Nun ist:
sin p
sin
p
--
+
p(p² - 12) sin29
3!
p(p* — 12) (p² — 3º)
5!
sin q
+ ( − 1)'s ' p (p² — 1²) · · · (p² — (p − 2)²)
p!
−
sinp-1q.
Der te Koeffizient ist eine durch p.4 teilbare ganze Zahl; denn es wird:
1) Oder der Quotient der Logarithmen zweier algebraischen Zahlen ist ent-
weder rational oder transzendent. Das Kettenbruchkriterium von Störmer
(Soc. math. frc. Bull. 28 (1900), p. 146) für solche Quotienten scheint hierzu nicht
auszureichen, bezieht sich auch nur auf reelle algebraische Zahlen.
2) Crelles J. 21 (1840), p. 375; sie finden sich schon in der Dissertation
von J. Wallenius (Abveae 1766).
3) Archiv d. Math. u. Ph. (3) 4 (1903).