302
Siebenter Teil. Konstruktive Approximationen.
Für n
=
x
erhält man aus ihr:
-
cos 2лx÷
1 -x 12x²
1-x+6x2
(0 ≤ x <0,4)
Daran lassen sich ähnliche Aufgaben knüpfen, wie an die Formel
von Bhaskara.
Auch in neuerer Zeit sind solche Formeln aufgestellt worden,
z. B. gibt E. Lakenmacher¹) die Formel:
welche für n = 3,
von 15° bis 30°
sin (30°+) =
1
1
2
sin2
cos
weitert werden kann.
π
2n
2n
1
on
4+√2" 4n+8
4, 5, 6 genau richtig ist, also im Intervall
sehr gute Annäherung gibt und vermittels
±√3 sin usw. auf andere Intervalle er-
2
Die Formel ist zwar nicht algebraisch in n,
aber für alle ganzen n quadratisch irrational, also konstruierbar.
Während die Regeln von Bhaskara und El-Karchi unbeachtet ge-
blieben sind, ist eine andere, die Kästner) als Renaldinis Regel be-
zeichnet, vielfach behandelt worden; sie rührt wohl von Antoine
de Ville (1628) her und wurde von Abraham
Bosse³) (1665) verbessert. Sie besteht in Folgen-
dem: Ist ABC gleichseitig, AD
D
D'
E'
1
n
=
1
AB, so ist
n
AD' AE'B, mit anderen Worten: die Geraden
DD', welche Durchmesser und Halbkreis propor-
tional teilen, gehen nahe durch einen Punkt C, für
den OCV3 ist. Sie kommt darauf hinaus:
π
COS
n
n-2
4(n−n+1)
(3n+√n² + 8n — 8)
1) Archiv (2) IX (1890), p. 214.
2) Geometr. Abhandl., Göttingen (1790) I, S. 266. Vgl. auch v. Birken-
stein, Ertzherzogliche Handgriffe des Zirkels und Lineals oder auserwählte An-
fangsgründe zu den math. Wiss., Augsburg 1689. Steczokowski, Grunerts
Arch. 24 (1855), p. 311. Plagge, Hoffm. Ztschr. 4 (1873), p. 356. V. Schlegel,
Schlöm. Zeitschr. 22 (1877), p. 339. S. Günther, Ztschr. f. Realschulw. III.
Wien (1878), p. 526. Letzterer gibt für den Fehler
n- - 2
π
COS
n
-
4 (n² — n + 1)
(3 n + √ n² + 8n — 8)
-
die graphische Darstellung:
2345
1112
3) De resolutione et compositione mathematica. Patavini (1668), lib. II, p. 367.