Kapitel III. Approximative Kreisteilung.
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Oder aus der Forderung, daß die Summe
im Intervall von 0 bis 1.
der Quadrate der Fehler¹)
cos X
π
2
-
1 - x2
1 + xx²
oder daß der absolute
Wert des größten Fehlers²) ein Minimum werde usw.
π
Ähnlich hat z. B. Poncelet) die Funktion V1 + x² im Intervall
von 0 bis 1 durch die lineare 0,93432 +0,42695x oder also, für
x = tgp den Bogen 0≤9≤ durch eine Gerade approximiert.
Solche Approximationen spielen in der Geradführung durch Gelenk-
mechanismen eine Rolle.
4
Allgemeiner hat man sich im vorliegenden Falle die Frage vor-
zulegen, wie sind die ganzen Funktionen nten Grades A(x²), B(x²) zu
bestimmen, damit die Gleichung:
π
A(x²) cos x +*B(x²) = 0
2
(−1≤x≤+1)
„möglichst nahe" erfüllt sei; wo die Worte „möglichst nahe" wieder
in verschiedener Weise zu interpretieren sind.
π
2
Natürlich kann man aus der Formel von Bhaskara auch um-
gekehrt x² näherungsweise durch cos x ausdrücken, also einen ratio-
nalen Teil von л, und damit selbst rektifizieren. Aber so aufge-
faßt ist die Formel viel schlechter als diejenigen von Gregory,
Snellius usw. (S. 188 ff.), da sie nicht oskulierend approximiert, wie
man für diesen Fall wünschen muß. Doch ist es unrichtig, solche
Approximationen deshalb geringzuschätzen ¹); das entspringt der
älteren Anschauung, daß Approximationen eo ipso oskulierend sein
müßten. Die Bedeutung interpolierender Approximationen ist ja heute
nicht mehr zu verkennen.
Bei dem Inder El-Karchi findet sich eine ähnliche Formel 5):
die für n =
nischen s
6
— ÷ Vn² − n + 6,
Sn
--
3, 4, 6 richtig ist; vermutlich als Verbesserung der Hero-
6
n
hergeleitet durch Interpolation aus den drei Formeln:
83=√3, S₁ =√2, s=VI.
1) Das ist das Prinzip von Gauss' Methode der kleinsten Quadrat-
summen; von dieser Art sind z. B. die Approximationen von Runge zur Dar-
stellung von " durch ax + bx² (Schlöm., Ztschr. 45 [1900], p. 78); systematisch
behandelt solche Approximationen A. Steinhausen, Aufstellung empirischer
Formeln nach der Methode der kleinsten Quadrate. Leipzig 1889.
2) Tehebycheff behandelt derartige Approximationen, s. Oeuvres I (ed.
par Markoff et Sonin, 1899), p. 201 ff., p. 499 ff.
3) Mécanique appliquée aux machines.
4) G. Eneström, Bibl. math. (3) VI (1905), p. 323 ff.
5) H. Suter, Verhandlungen des III. intern. Mathematikerkongresses, Leipzig
(1905), p. 556. J. Kürschák, Bibl. math. (3) VI (1905), p. 306 ff.