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Siebenter Teil. Konstruktive Approximationen.
und der Koeffizient x ist aus weiteren Bedingungen zu bestimmen.
Fordert man Richtigkeit der Formel an der Stelle +, der
x =
π
2
2
3
einzigen, wo rationalem x rationale cost x entsprechen¹), so findet
14 Ähnliche Überlegungen könnten Bhaskara auf seine
Formel geführt haben.
man x
Diese Formel repräsentiert eine interpolatorische Approximation,
da die Entwicklungen
π
π
2
COS x = 1 − ²x² + ...,
2
-
8
-
1 x2
-
(1 x²) (1
x x² + · · ·)
.
=
1 − (x + 1) x² + · · ·
1+xx
schon im zweiten Gliede nicht übereinstimmen; denn das ergäbe
π
7² = 1 oder
π = = √10,
8
den bekannten indischen Näherungswert (S. 184). Wählt man aber
x =
-
1 = 0,237 ..
8
so findet bei x = 0 Oskulieren statt. Diesen Wert wollen wir mit
bezeichnen. Ebenso kommt man durch Vergleich der Entwicklungen
хо
COS
-
π
2
X
sin(1
π
x) — — (1 − x) — · · ·,
2
(1
-
x)
- x2
1 + xx²
entweder für z
=
4
=
1 + x
auf den ägyptischen Näherungswert x =
3,21)
oder man bewirkt durch Wahl von x Oskulieren bei x = 1, indem man
4
x =
π
-
- 10,273... wählt; diesen Wert bezeichnen wir mit ×₁.
Für x findet bei x = 0 Annäherung zweiter Ordnung statt, für
z₁
findet bei x = 1 Annäherung erster Ordnung statt. Ein guter Wert
für wird also
0,249... sein; der Wert des Bhaskara
2x + x1
3
-
unterscheidet sich hiervon nur um ca.
1
1000
•
Man kann x aus anderen
Forderungen bestimmen, z. B. als den Mittelwert von
1
1 x
1+
COS
π
X
1) Diesen Satz, dessen Richtigkeit sofort aus der Irreduktibilität der Kreis-
teilungsgleichung (s. S. 145) folgt, beweist Hessel (Archiv d. Math. u. Ph. (1) 48
(1868), p. 81) rein geometrisch, nachdem er ihn vorher in seiner Kristallometrie
(1831) unbewiesen benutzt hatte.
2) S. M. Simon 1. c.,
p. 45.