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Siebenter Teil. Konstruktive Approximationen.
die zu interpolierende Funktion, so wird
«² : p² = (dx)¸ : (dx),¸-
1
=-
sin² Yo
:
sin y₁'
Y17
also:
α: β
=
sin
yo sin
Y1.
Gauss nimmt zwar a:ß
=
Yoy₁, was aber wesentlich dasselbe ist,
da er nur kleine y im Auge hat. Dieselbe Interpolation wendet er
noch bei kleinen arc cosec an.
Quadratisch irrationale Approximationen findet man z. B. durch
Ausdehnung des Jacobischen Algorithmus (S. 283) auf Näherungs-
gleichungen von der Form ¹):
u(x) + v(x) † x + w(x) √x² = 0;
oder durch Übertragung der Laguerreschen Approximation (s. S. 222)
auf Gleichungen mit nur einer reellen Wurzel, insbesondere auf die
Dreiteilung eines Hyperbelsektors (s. S. 90).
täten.
Das Entsprechende gilt für nte Wurzeln oder andere Irrationali-
B
Kapitel II.
Winkelteilungen.
Dreiteilungen.
Eine der ältesten mit Absicht und Bewußtsein als Approximation
gegebene ist die von Albrecht Dürer.) Er triseziert die Sehne AD
des zu trisezierenden Bogens AD durch die zu ihr senk-
rechten Geraden [BB], [CC'], die den Bogen in B', C'
schneiden, und nimmt das Mittel von AB', B'C', C'D als
B'Sehne des gesuchten Bogendrittels.")
Ist diese Konstruktion deutlich von empirischem Cha-
rakter, so sind die von Snellius und Lambert theoretisch
cwohl begründet in den schon im fünften Teil, Kapitel II
abgeleiteten Näherungsformeln.
Wir hatten S. 82 den approximativen Trisektionspunkt
P, für den OP 2 ist, gefunden ), während für den ge-
=
1) Solche Approximationen behandelt Tcheby cheff, Mathem. Sbornik 2
(1867) Oeuvres I (Petersburg 1899), p. 561.
=
2) Underweysung der messung mit dem zirckel unn richtscheyt. Nürn-
berg 1525.
3) Die Genauigkeit scheint am größten um 90° herum; s. A. G. Kästner,
Geom. Abhandlungen. Göttingen 1790.
4) Diese Konstruktion führt z. B. auch E. Cominotto an (Trisezione ap-
prossimata dell' angolo, Padova 1895).