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Siebenter Teil. Konstruktive Approximationen.
Setzt man allgemeiner, die regula falsi gewissermaßen
S. 218).
korrigierend:
-
-
f(x) − f(x) : f(x) − f(x) = u(x¸− x) : ß (x − x。),
so erhält man
(1)
-
f(x) =
=
-
·
·
α(x − x) f(x₁) + ß (x − x₁) f(x¸)
=
∞(xx)+B (x — x₁)
X1
und es ist jetzt die Frage, wie man das unbekannte Korrekturver-
hältnis a ẞ zweckmäßig zu wählen habe. Die rechte Seite in (1)
stimmt für x xo und x
mit der linken überein. Man kann
z. B. verlangen, daß diese Übereinstimmung noch für einen weiteren
Wert xx, stattfindet und kann aus dieser Forderung das Ver-
hältnis aẞ berechnen. Setzt man zur Abkürzung
=
f(x) = Yo, f(x₁) = Y₁,
f(x2) = Y2, f(x) = y,
so erhält man die Formel:
y
=
·
-
Y₁ Y₂ (x — x) (x, — x₂) + Y₂ Yo (x — x) (x − x¸) + Yo Y₁ (x − x₂) (x。 — x₁)
Yo (xx) (x, x₁) + y₁ (x − x₁) (X¸ — X₂) + Y₂ (X — X₁) (X₁ — X)
− X¸)
----
-
die das einfachste Beispiel von Cauchys¹) Interpolation durch eine
gebrochene Funktion repräsentiert. Man kann zweitens fordern, daß
die rechte Seite in (1) sich im ganzen Intervall xx₁ der Funktion
f(x) möglichst nahe anschmiegt. Das kann entweder nach der Gauss-
schen Forderung erfolgen, so daß die Summe der Fehlerquadrate der
Formel (1) im Intervall xx, ein Minimum wird (was die Aus-
dehnung des von Tchebycheff 2) für ganze Interpolation gelösten Pro-
blems auf gebrochene Interpolation wäre), oder nach der Poncelet-
Tchebycheffschen, so daß der größte Fehler der Formel (1) im Intervall
xx ein Minimum wird. Diese Forderungen führen nicht zu
einfachen Bestimmungen des Verhältnisses a: B. Stellen wir jetzt
folgende Aufgabe: Unter den Hyperbelbogen:
y =
-
α (Xo · x) y₁ + f (x − x₁) Yo
α (x − x) + B (x − x₁)
(xo≤ x ≤ x₁)
(xo≤ x ≤ x₁)
denjenigen auszuwählen, welcher sich am engsten an den Kurvenbogen:
yo'
y
f'(x)' f'(x)'
y = f(x)
welche den Richtungsunterschied beider
anschmiegt; und zwar in der Weise, daß der größere der beiden
Quotienten
Bogen an den Endpunkten (o, Yo), (x₁, y₁) messen, möglichst klein
wird. Nun findet man
1) A. L. Cauchy, Analyse algébrique (Paris 1821), p. 527.
2) Liouv J. (2) 3 (1858), p. 289 Oeuvres I (Petersburg 1899), p. 201.