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Siebenter Teil. Konstruktive Approximationen.
obgleich er durch die Approximationen von Snellius und Orontius (s.
S. 192) nahe gelegt war. Die Formeln (1) und (2) kann man auch
schreiben:
2 a
b
Va² + b = a +
1),
Va³ + b = a +
b
3a²;
sie repräsentieren also die Anfänge der Entwicklungen von
a (1 + 2/3)
14
und a(1+)
13
(3)
14
nach dem binomischen Satz (s. S. 225) oder auch in Kettenbrüche
(s. S. 264). Sie ergeben sich auch durch Anwendung des erwähnten
Newtonschen Verfahrens (s. S. 183), während die regula falsi ergäbe
Va² + b
=
a +
b
2a+1'
Va³ + b
=
a+
b
3a²+3a+1'
welche Werte mit (3) und (4) zusammen den genauen Wert der
Wurzel einschließen. Andrerseits ergibt sich (3) aus der bekannten
rekurrenten Auflösung der quadratischen Gleichung x=2ax + b,
nämlich
X = 2a +
b
x
b
2a+
= usw.,
b
2a+
x
der für die kubische Gleichung
x³ = px² + qx + r,
der durch die zwei Gleichungen
q
x
p + + 12,
r
X
x² = ( p² + q) +
definierte Algorithmus entspricht.
x29
p q + r
+
x
pr
x²
Von den erwähnten, uns heute so naheliegenden Erweiterungen
des Quadratwurzelverfahrens auf Kubikwurzeln findet sich, wie ge-
b
2 a
с
1) Übrigens wurde bei wiederholter Anwendung des Verfahrens die Kor-
rektur durch einen nahegelegenen Stammbruch oder eine Summe solcher
ersetzt (z. B. V54 7% statt 7514 in Heron Stereometria ed. Hultsch (Berlin
1864) II, p. 184) und dann ebenso eine zweite Korrektur gefunden (z. B.
8
=
1
d
26
1
-
-
in
15
780
V3561824 im Lib. Geepon. ed. Hultsch, p. 217; 3
Archim., xxiov μéronois). Vgl. hierzu P. Tannery, Mém. d. 1. soc. des sciences
physiques et naturelles de Bordeaux (2) 5 (Paris 1882), p. 161, 313.