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Siebenter Teil. Konstruktive Approximationen.
so ergibt sich zwischen den ganzen Zahlen p die Rekursionsformel:
Pi+3
-
-
- 3 (Pi+2 + Pi + 1) + P₁₂
1, P₁ = 3, P₂ = 6 ist, so erhält man:
und da po 1, Pi
-
―
=
P3-8, P₁ = 3, p. 21, p. — — 80, ...
P6
= -
und daraus z. B. die Näherungsgleichung:
35
√4 +8 √230.
Man erhält hieraus für 2 den Wert:
3
1/2
1,2599112...
und die Konstruktion: Man teile die Strecke 8 von außen zum
35
3
Produkte so ist der kleinere Abschnitt nahezu 1/2.¹)
3'
3
5
4
Eine mehr geometrische Konstruktion ist die von M. Stifel)
(1486-1567). In ihr ist zwar nur √2
1/2 =, aber sie läßt sich beliebig
verbessern; sie beruht auf Platos Figur zur Einschaltung von zwei
Mitteln (s. S. 140).
E
M
A
B
Um zwischen OA-1 und OB 2 die zwei Mittel
=
=
OD = √2, OC = = 1/4
3
einzuschalten, schlage man um M, wo OM
=
(besser 0,37), mit
8
MB den Kreis; der geht nahe durch C und D.
Wir erwähnen noch die von Huygens"): Es sei AC 2,
=
=
3
cosec 52,5° 1,2605 ... √2;
AF 60°, CD 45°, dann ist AE cosec 52,5°.
=
genauer müßte man EF CD machen.
=
1) Diese beiden Konstruktionen sind einfacher uud genauer, wie diejenigen
von Buonafalce und Boccali (Enriques, p. 224 ff), welche 1/2 bzw. gleich
1,25 863..., 1,259909..., 1,260035... ergeben, und wie die erste von Masche-
roni (1. c. art. 275), welche V2 gleich 1,2592800... ergibt; die zweite Masche-
ronische gibt 12: 1,2 599190..., steht also an Genauigkeit zwischen den beiden
obigen.
2) Arithmetica integra 1544 fol. 119.
3) Huygens, Varia opera mathematica Bd. I, p. 1.