Kapitel IV. Grenzfälle.
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anzugeben. An Stelle des Additionstheorems der Arcustangensfunktion
tritt das des Logarithmus:
labla + lb.
Es kommt darauf an, durch zweckmäßige Zerlegung zu erreichen, daß
man nur rasch konvergente Reihen zu summieren hat. Eine Anzahl
solcher Zerlegungen hat Gregory¹) gegeben. Z. B. zur Berechnung
von log 2 berechne man 10 (log 2) 3
log (1 + 1000)
―
=
log
1024
1000
=
24
nach der Reihe für log (1 + x). Dann hat man für 3 die Zerlegungen:
für 7:
38.5 32805
=
100.25.3
=
2400,
215-32768,
74-2401,
so daß man die rasch konvergente Reihe 7(1 + 2400)
hat, usw.
Auch Gauss) hat sich hiermit befaßt.
Vega³) empfiehlt zu demselben Zweck die Formel:
zu summieren
21z1(x-1) — 1(z+1)= 2 arc ctg hyp (2²-1);
-
ebenso neuerdings K. Zindler) die folgende:
4 l z — l(z — 1) — 7 (≈ + 1) − 7 (z² + 1)
- -
7(z
=
2 arc ctg hyp(2z¹ —— 1).
Dadurch lassen sich die Logarithmen als Aggregate von are ctg hyp
großer Zahlen darstellen.
1) De vera circuli et hyperbolae quadratura (Huygens Opera varia, Lugduni
1724, p. 457). Gauss (Werke II, p. 502) schreibt sie irrtümlich Huygens zu.
2) Werke II, p. 501.
3) Thesaurus logarithmorum, Vorrede.
4) Zeitschr. f. d. Realschulwesen 22 (1897), p. 398.