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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
Auch Th. Meyer¹) gab solche Reihen z. B.
1
π
8
arc tg
-
are tg11+ are tg
1
2786
1
-
arc tg
+
21624372024
14
in der die Nenner die Rekursionsformel befolgen:
t₁ = t13t₂-1.
tn=
n
Von anderen Reihen für erwähnen wir noch die von Landen)
π
1
3
-
+
3
1
1
+ +
12.22 22.32 32.52
die z. B. aus Fourierschen Reihen zu folgern ist; eine Reihe von
Ivory ³)
1 1 3 5
1 2
1
2
1
=
1+
.
.
´ − 1 + ( - ) + ( · ; )² + ( · · :)² + ( · 4 · · : )' + · · ·,
.
1 3
6
2
2
π
6
die durch Spezialisierung aus einer Formel für den Ellipsenumfang
folgt.
In Japan hatte Yoshihide Masunaga 1739 ≈ aus der arc sin-
Reihe auf 50 Stellen berechnet. Ajima (1737-1797) gab noch die
Reihe, die aus S. 258 (5) und S. 225 (unten) folgt:
00
(are sin x + xV1 - x²) —
X
―
-Σ
k = 1
1
2k +1
1.3
.
5
•
(2k-3)
2 k
•
x²+1
Rationale Näherungswerte für gaben Y. Arima 1766:
und
π=
π
5419351
1725 033
(auf 12 Stellen richtig)
428 224 593 349 304
136308121570117 (auf 30 Stellen richtig),
für G. Kurushima († 1760)
πε
98548 4)
=
9985
Logarithmotechnie.
Dem Probleme der vorteilhaftesten Berechnung von z oder all-
gemeiner der Bogen zu rationalen Tangenten, der „Zyklotechnie“,
entspricht im Gebiet der hyperbolischen Funktionen die „Logarithmo-
technie"), die Aufgabe auf zweckmäßigste Weise die Logarithmen
rationaler Zahlen zu berechnen. Hierfür sind ganz ähnliche Verfahren
1) l. c. 2) Mathematical Memoirs London 1780.
3) Edinb. Trans. IV (1798), p. 177.
4) P. Harzer, Die exakten Wissenschaften im alten Japan. Rede gehalten
in Kiel 27. Januar 1905.
5) Dies Wort gebraucht zuerst Nicolaus Mercator als Titel der Schrift
Logarithmotechnia sive Methodus construendi Logarithmos nova accurata et
facilis.
1667.