Kapitel IV. Grenzfälle.
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Man kann alle diese Formeln herleiten, indem man von der Iden-
tität ausgeht:
1
arc tg
= arc tg
+ arc tg
y + x
1
y + z
für y²+1
= XZ.
Für y = 1, x
=
2=
1, 2 erhält man die Eulersche Formel, die ein-
zige zweigliedrige für arc tg 1.
Zerlegt man in ihr arc tgnach
derselben Formel in arc tg + are tg
3
1
9
7
so bekommt man die eine
Vegasche; zerlegt man aber arc tg was auf zwei Arten möglich,
3 "
so erhält man die Schulz-Dahsesche, und die Formel:
π
4
-
arc tg
2
+ arc tg
1
4
1
+ arc tg
13
Diese drei sind also die einzigen dreigliedrigen, usw.
Das allgemeine Problem, die Gleichung:
k₁ arc tg
1
x1
+k, arc tg
1
X
1
π
•
+ +k, arc tg
k
n
xn
4
in ganzen Zahlen aufzulösen, behandelt und löst C. Störmer¹), eine
Reihe solcher Formeln leitet mit einfachen Mitteln Th. Meyer) her.
Auch Euler und Klügel hatten übrigens die Frage schon allgemein
angefaßt.³)
Das Verfahren der arc tg-Zerlegung läßt sich natürlich auch
unbegrenzt fortsetzen. Z. B. gibt die Identität
1
-
a
are tg = (are tg
arc tg
a
1)+(are tg
-
arc
b
tg-/-/-)
b
a
C- - b
= arc tg
+ are tg
+
ab+1
be + 1
für a
= 1, b = 3, c = 5, . . .
π
2
2
arc tg
+ arc tg
+ arc tg
+
4
4
16
36
für a
=
b
"
2, c =
3,
1
π
arc tg
4
3
7
+ arc tg + are tg
+
.¹)
13
1) Comptes rendus 122 (1896), p. 175, 225; Videnskabsselskabets Skrifter,
Christiania 1895; Bull. d. 1. soc. math. d. Fr. (1899). Arch. for Math. og Naturw.
19 (1906), p. 1 ff., usw.
2) Hoffmanns Ztschr. f. math. u. naturw. Unterr. 35 (1904), p. 1.
3) Klügel, Hindenburgs Arch. 2 (1798), p. 308. Vgl. auch Pfaff, Disqui-
sitiones analyticae (1794) I, § 10.
4) Euler, Nov. Comm. Petrop. IX 1737 (1744), p. 100; IX 1762/63 (1764).
p. 40. J. Fr. Pfaff, Nova Acta X 1792 (1797), p. 123.