Kapitel IV. Grenzfälle.
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summierte. Euler¹) versuchte langsam konvergente Reihen, insbe-
sondere auch die arc tg Reihe in schneller konvergierende zu über-
führen. Man kann seinen Satz etwas allgemeiner durch die Identität
darstellen:
a
b
d
a
+ + +
+
Z
atb at²+2bt+c
+
+
z + t (z+1) 2 (+1) 3
+
ats+3b+3ct + d
(z+1)+
+
Aber einen wirklich fruchtbaren und
danken hatte Machin (1706)³), indem er
mit ganzzahligen Cotangenten darstellte.
Formel:
1
π
dabei sehr einfachen Ge-
als Summe von Bogen
Er berechnete mit seiner
1
π
4
= 4 arc tg
-
are tg
5
239
auf 100 Stellen.) Die einfachste Formel dieser Art ist die von
Euler) und Hutton) (1746):
π
=
4
aretgaretg
3
die von Euler:
π
1
3
-
4
7
5 arc tg 2 are tg
+
79
ist für die zweite arc tg-Reihe (S. 258 (8)) bequem.
1) Inst. calc. diff. (1755), p. 281; also vor Maseres (vgl. Cantor IV, p. 271),
der dieselbe Umformung fand. Phil. Trans. Lond. (1777), vol. 67, I p. 187. Über
die Konvergenz s. Poncelet, Crelles J. 13 (1835), p. 6.
2) Die spätere Formel von J. Hellins (R. Soc. Trans. Lond. 84 [1794], 86
[1796], 88 [1798]:
xm
+
m
xm+
በ
m + n
Xm+2n
+
nxm+n
m + 2n
m(1 — x")
-
n (m + n) (1 − x″)²
-
+
ist offenbar nur ein Spezialfall davon.
n⋅ 2 n xm+2n
m (m + n) (m + 2 n) (1 − x²) ³
-
+
3) S. W. Jones' Synopsis palmariorum matheseos (1706), p. 263, und Ma-
seres, Script. log. III (1796), p. VII und 157.
4) Nach derselben Formel hat Bürmann (Hindenburgs Archiv 2 (1798),
p. 487) 160 Stellen berechnet.
5) Briefe an Goldbach vom 9. April 1743 u. 28. Mai 1746 (Corresp. math.
[ed. Fuß] I, p. 220). Nova acta 1793 (1798) XI, p. 133, 150. Über eine 7-Be-
rechnung aus einer halbkonvergenten Reihe auf 15 Stellen s. Comm. Acad. Petr.
(1793) XI, 166.
6) Phil. Trans. 1776, 66, p. 476. Er gab drei solcher Formeln. Vgl. auch
Maseres, Script. log. III, p. 219; Hellins, Phil. Trans. 2, (1794), p. 217;
Glaisher, Messenger II (1873), p. 119.