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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
1
CV₂
cvs + co vi
с =
21
1 '
Со
"
C1
-
usw.
"
Bleibt nun die Funktion f(n) für alle folgenden n zwischen den
positiven Grenzen A und B, so folgt aus den Gleichungen:
durch Addition:
-
ø (n)a„ q(n
(n)a, — (n + 1)an+1 = f(n + 1)an+1
q (n) a = f(n + 1) an +1 + f (n + 2) a₂+ 2 + f (n + 3)an+3+
also liegt der Rest:
n+2
zwischen den Grenzen
= a
rn an+
4(n)
1
+an+ 2
+ a
n+3
+
...
a und
A
4(n)
В
Ban; der Rest r, wird also in
Teilen des letzten Gliedes a, approximiert. In vielen Fällen wird
f(n) nur wachsen oder nur abnehmen, dann sind f(n) und f(x) = 1
für A und B zu nehmen.
Die Brauchbarkeit dieses Verfahrens geht z. B. daraus hervor,
daß Kummer damit die Reihe:
1
1
1+ + +
1
43
+
23
38
=
aus den ersten zehn Gliedern (n
rechnet hat; dazu sind sonst mehr
10) bis auf 14 Stellen genau be-
als 10000000 Glieder nötig.
15. Jede unendliche Reihe von Größen So, S1, S2, S3, .. läßt
sich als Summenreihe der Reihe:
-
So + ($1 − §0) + (82 − §1) +
auffassen. Also auch die durch ein unendliches Produkt:
ர்
II (1 + u„)
n = 1
definierte Reihe von Teilprodukten:
(1 + u₁), (1 + u₁)(1 + u₂), (1 + u₁) (1 + uş) (1 + U3), usw.,
deren Grenzwert der Wert des unendlichen Produktes heißt. Demnach
ist das unendliche Produkt gleich der Reihe:
1 + u₁ + (1 + u₁) u₂ + (1 + u¸) (1 + U.) U3 + · · ··
u
Sind z. B. alle 1+u, und alle positiv, so ergibt das Konvergenz-
"
n+1
U
n
kriterium 7, daß das Produkt konvergiert, wenn ein q< 1 existiert,
so daß für jedes n von einem bestimmten ab stets
(1 + Un) u n + 1
n+1 +u, n+1
un
un
ist. Sind erstens die u, positiv, so müssen sie gegen Null abnehmen;