Kapitel IV. Grenzfälle.
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wie aus 7 (1 + 1 ) =
2
1
1
=
2 222
+
folgt. Addiert man alle diese
Ungleichungen, so kommt:
also:
1 − l2 + l(n+1) < 1+
+
+
+
< 1 + In,
n
1
1 − 12 + 1 (1 + 1) < 1 +
1 12 + +
Demnach liegt
lim (1 + 1/2 + ... +
N=∞
zwischen 1 und 1—12 = 0,307 . . .; der
n
+ " − In < 1 .
-
In)
genaue
C = 0,5772156649...
heißt die Mascheronische Konstante.
n
-
Wert
10. Zwei Reihen a₁+a+as+ · ·, b₁ + bq + bg + ·.· mit posi-
tiven, abnehmenden Gliedern konvergieren oder divergieren zugleich,
wenn:
ist.
Denn es ist erstens:
b
=
g" · a[n] (wo g>1, [] das größte Ganze)
a [n-1]+1+α [n-1] +8 + · · · +9["]>([g"]-[g"−¹]) a[n]
A[gn−1]
> (g" — gr¹ — 1) α["]
a[n]
(1
1
m
g
für m≤n und so, daß 1-
g
m
> 0 ist.
Durch Summierung von n = m bis ergibt sich:
also:
I.
a [n-1]+1+ >
•
Zweitens ist:
--
1
(bm b.
( 1 − 1) — — — ) (1 m + b + 1 + · · ·).
g
m
([g" +1]-[g"]) a[n]> a[n] + [2"]+1 + ··· + @[π+1]-1'
g" + 1
a["]
>
a[n]
+
+1
+
а[gn]+
...
+an+11-19
durch Summierung von 0 bis
II.
******
ergibt sich:
« Σ > Σαμ
Aus den Ungleichungen I. und II. folgen die Behauptungen.¹)
1) Cauchy 1. c.