Kapitel IV. Grenzfälle.
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Z. B. für m = 1:
s+k
k = 0, 1, 2, 3,...
л ctg лs¹),
oder:
1
л сtgлs
-
S
1
s土​h
00
28
=
-k2
(18)
Daraus folgt für s
-
*= 1,2,3,...
k=1
wieder die Formel (15).
1
Die Substitutionen s || s1 in (14), s || s
2
in (18) geben die
Partialbruchreihen für cosec und tg; außerdem kann man aus (18)
vermittels ctg
x
-
2
ctg x = cosec x die Reihe für cosec, also auch für
sec, und vermittels ctg x-2ctg 2x = tg x die Reihe für tg herleiten.²)
Hypergeometrische Reihe.³)
Die bisher erhaltenen Potenzreihen lassen sich als Spezialfälle
der hypergeometrischen Reihe darstellen:
F(α, ß, y, x) = 1 +
αβ
1+ x +
•
7
a (a+1) B(B+1)
1.2.y(+1)
x² +
Es ist nämlich *):
(1 + x)” — F' (— n, v, v, — x),
n
n
{ ((1 + x)" + (1 − x)') = F ( — ¦¦, − ¦ + 1, 1, x²),
2
-
½ ((1 + x)" + 1) = F (−
2
(1 x)"
((1+x)n.
2'
2
2 2
n, ∞, 2∞, — x), (lim ∞ =
− − x'}") = (
! (¹ + x^ — (1 − x')" ) − x F ( —
n
(1 + x)n 1
n
=
n
n
3
0),
" + 1, − + 1, 1, x²),
-
x F(1-n, 1, 2, − x),
sin nx = n sin x F (
sin nx
sin nx
COS" x
n+
= n sin x cos x F
-
1 3
n + sin² x),
2 " 2'
F(" +1,
n
+1, 2, sin²x),
n
n tg x F (-2+1,
n
sin nx cos” x = n tg x F (2 +1
1) Euler 1. c., p. 126, 134.
n
-
+
n
2
1 3
+ - tg²x),
2 2
1 3
2'
- tg²x),
2) Durch Entwicklung der Partialbrüche nach Potenzen von x erhält man
die Potenzreihen für tg, ctg, sec, cosec, in deren Koeffizienten die Bernoulli-
schen und Eulerschen Zahlen vorkommen. Über diese vgl. insbesondere Saal-
schütz, Vorlesungen über die Bernoullischen Zahlen, Berlin 1893.
-
3) Der Name in etwas anderer Bedeutung bei Wallis (Arithmetica in-
finitorum Opera, Oxoniae 1645, p. 466), die Reihe zuerst bei Euler (Nov. act.
Petrop. 12, 1794, p. 5I). S. ferner L. Jecklin, Hist.-krit. Untersuchung üb. d.
Theorie der hypergeometrischen Reihe, Diss., Bern 1901. 4) Gauss III, p. 127.