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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
Setzen wir schließlich in den Wurzelpotenzsummen S. 254:
2n-1
1
π (k + s)
-
m
1 (p + q +r+
p! qir!
k = + 1, − 3, +5,... sin".
-
2n
(sec)([sec) (sec)...
2
S
2
p+3q+5r+= m
und
Σ
k = 0,1,2,3,... tgm
π (8+ k)
n
= m
(p+q+r+..
pig!r!..
1)!
p+39 +5r+ · · · = m
''(("'") et gas)" ("')" ( — ("'")etgas)"...
n = ∞, so geht, da ja n²+39 +5+ stets gleich n ist, die erste
Gleichung über in:
1
(k± 8)
k = 1,3,5,...
π
77
m
2
'(p+q+r+⋅
p! q! r!
-1)!
1
元
​S
3!
2
-¹): (secs)" (-3, secs)" (5, secs) ..
Z. B. ergibt sich hieraus für m = 1:
5!
1
π
k+s
π
sec 2-81),
(13)
(14)
k = 1, -3, +5, -
und hieraus wiederum für s
0:
1
1
1
1
+
-
+
1
3
5
7
Andererseits kann man in (13) s
27
4
(15)
O und m beliebig setzen
und bekommt dann:
m
2
(
π m
2
1 (p + q +r+...
p! q! r! . . .
1)!
(一​) ()
(16)
k = 1, 3, +5,...
woraus sich bei geradem m auch der Wert der Summe
(k = 1, 2, 3, ...) durch Multiplikation von (16) mit
21
2m
ergibt. Die
- 1
zweite der beiden obigen Wurzelpotenzsummenformeln gibt für n = ∞:
1
(8 + k) m
(ctgïs)”. · (1) ' ( — 31, ctg 7s) ...
k = 0,1,2,3,...
= m πm
• (p + q + r + · · · — 1)!
p!q!r!...
1) Euler 1. c., p. 126, 134.
(17)