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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
Wir beweisen sie, wie bereits gesagt, durch den Schluß von n
auf (n+1):
1. n gerade:
Es ist:
cos (n+1)x
x = cos NX COS X sin nx sin x,
cos (n+1)x
COS X
-
(1−{2}sin*r+...)−({n}sin*r—{m}sin^x+..)
=
1.
n
}+
-1-({}+{}) sin²x + (('} + {"}) sin' x — · · ·,
-
3
also nach (10):
Ebenso ist:
n +
n
1- - {"¹) sin² + ("+¹) sin* x
x
sin nx cos x + cos nx sin x,
sin (n+1)x =
= ({"} si
sin x
-
{3} sin³ x + . . .) (1 − sin² x)
+(1−{n}sin*x+1) sản
-
201
{
-(()+1) sin x-(G)+G}+()) sin³z
=
+({3} + {1} + {3}) sin³ x — ...
5
n+
-("+ sin x-(+) sin*x + ...
2. n ungerade:
cos (n + 1) x = (1— {"} sin³ x + {"} sin¹ x — ·· -) cos² x
4
-(sin x-(sin x +…)
-1-(()+()+1) x+(G)+{}+{})
{ s sin² x + ( { '; } + {3} + {2}) sin¹r—
х
-1- (+¹) sin²+("+¹) sin' x - - - -
und
sin(n+1)x
COS X
=({"} sin x-{}sin+...)
--
n
+ (sin x = {2}
sin³ x + {"}
sin x ...)
-
=
{"+¹) sin
X
{ " +¹ } sin³ x + ···
Damit sind die Formeln (8) und (9) sämtlich bewiesen.