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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
Außerdem ist:
So 2, s₁ =s, to= 0, t₁ = 1, t2 = s.
=
Also muß es möglich sein, vermittels dieser Relationen (3) allein s
und t₁ als ganze Funktionen von s darzustellen. Für die erste
Rekursionsformel erhielten wir bereits früher S. 220:
n
S = sn
Danach ist:
2 cos nx
=
-2
n
-4
− [ '" ]s” – ² + [ '” ] s” — ^ — ....
-
(2 cos x)" – ['] (2 cos x)* −²+ [2] (2 cosx)"
-
(4)
— 4
(5)
-
tn
1
3
=
-
− ( " - ²) s" - ³ + ( " > ³) s« — ³ — · · · .
-
-3)
-5
(6)
Die zweite Rekursionsformel (3) liefert:
1
Man beweist diese Formel durch den Schluß von n auf (n+1);
man erhält nämlich:
-2)5
-
2
t + 1 = 8 t, — t₂- 1 = {S" — (" + ²)
1st-t-1-5-(" s² - ² + (" - ³ ) * - · -…)
Also ist:
-
Sh
2
---
S
("-0)。4-4_
2-4
-6
(” - ³) s″ – ¹ + (” - ¹) s″ – 6 — . .
sn
-2
-
-4
— 5″ — (" + ¹) s″ - ² + (" ~ *) sº - 4 — · · ·.
-
n
-3
sin nx= sin x { (2 cos x)-1-(2) (2 cos x) - ³ + ... } .¹)
(7)
Aus diesen beiden Formeln für cos nx und sin nx folgt, daß
für gerades n die beiden Funktionen cos nx und
für un-
gerades n die beiden Funktionen
cos n x
cos x
sin nx
COS X
und sin nx ganze Funktionen
von sin x sein müssen. Diese Formeln sollen jetzt aufgestellt und
bewiesen werden:
1. für gerades n gelten die Formeln:
n*
cos n x
=
1
sin x +
n² (n² - 2*)
sin¹ x
-
2!
4!
n²-- 22
=
1
sin2x+
(n² - 2²) (n²-4)
sin¹x
..
3!
5!
sin nx
n sin x cos x
1) Vieta, Opera ed. Schooten, p. 295, 297, 299; Joh. Bernoulli, Acta
erudit. 1701, p. 170: Opera, p. 386.