Kapitel III. Goniometrie.
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so daß die Reihe und die Grenzwertdefinition für ln (1+x) auch für
rein imaginäre x gelten.
Es wird ferner für z = x + iy und y < 1 + x:
iy
1
iy
"
)" =
+...)
n
(1 + z)" = (1 + x)" (1 + ‚ ','.) " — (1 + x)" (1 + ("); ++ ···)
1 + x/
x
1
= (1 + x)" + ('') (1 + x)"−¹iy + ··
.
('₁) (x + iy) + ('") (x² + 2xiy+ (iy)²) + · · · ¹)
− 1 + ('') (x + iy) + (” ) (x + iy)² + · · ··
-
Also gilt die Binomialreihe auch für komplexe Argumente und be-
liebige reelle Exponenten ); demnach auch die Grenzwertdefinitionen
von e und ln (1 + z) für komplexe z.
Multiplikationsformeln.
I. Polynome.³)
Aus den früher (S. 241) abgeleiteten Formeln:
cos nx = cos″ x (1 − (2) tg² x + (") tg¹ x
--
-
sin nx = cos″ x (n tg x − (” ) tg³ x + (',') tg³ x — · ·.
-
(1)
sind noch Formeln herzuleiten, in denen cos nx und sin nx nur
durch cos x oder nur durch sin x ausgedrückt werden. Aus dem
Additionstheorem ergeben sich die rekurrenten Gleichungen:
cos (n+1)x + cos (n − 1)x = 2 cos x cos nx,
---
sin (n+1)x + sin (n − 1)x
Setzt man:
2 cos nx =
Sn
=
2 cos x sin nx.
sin nx
sin x
=
n
(2)
so lauten diese Gleichungen (2):
SS + Sn-1
n
Sn+1
t+1-st
str + ty
n-1
=
0.
(3)
1) Diese Umordnung ist wieder gestattet, wenn die Summe der absoluten
Werte der Glieder konvergiert; das findet bei | x+y<1 statt. Tatsächlich
gilt, worauf es uns hier nicht ankommt, die Formel in dem etwas weiteren
Bereich + y² <1 (s. Cauchy, 1. c.).
2) In welcher Weise sie auch für komplexe Exponenten gilt, hat Abel ge-
zeigt. Crelles J. 1 (1826), p. 311 Oeuvres I (Christiania 1881), p. 219.
=
3) S. namentlich Euler, Introductio, Lagrange, Leçons sur le calcul des
fonctions, Paris 1808 Oeuvres 10, p. 113.
-