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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
soll als Definition der Potenz es mit rein imaginärem z genommen
werden. Diese Definition ist zulässig, weil die Potenzgesetze erhalten
bleiben, denn es wird in der Tat:
eix eiy
-
ei (x + y)
(eix)n = einx
nach dem Additionstheorem
und dem Moivreschen Satz.
Die Potenz aix wird definiert durch ei*. In a. Dann gelten in
der Tat die Potenzgesetze :
aix bix = (ab)i x
(aix)" — anix
=
Ferner ist: as+ig zu definieren durch as a¹º,
für beliebige reelle n.
woraus z. B.:
b
i arctg
a + ib = √a² + b² e
a
=
1
Ꮮ
In (a²+b²) + i arctg
α
•
folgt.
Nunmehr ist die allgemeine Potenz (a+ib)(c+id) zu definieren
durch:
{
b
In (a² + b²) + i arctg {}. (c+id)
a
und der allgemeine Logarithmus von (a+ib) für die Basis (c+id)
zu definieren durch:
b
In (a+b)+i arctg
2
a
d
с
In (c²+ d²) + i arctg
daß auch für diese Definitionen die Potenzgesetze bestehen bleiben,
ist leicht zu zeigen.
Jetzt gilt auch die Exponentialreihe für komplexe Argumente;
denn es wird:
extiy
=
e²eiv = (1 +
х
=
1+
1+
x2
+ + · · · ) ( 1 +
1! 2!
(x + iy)
1!
x + iy
1!
(+
1!
xiy
1!1!
(iy*)
+ +...)
2!
(i y)
+ (m²).
+
(x + iy)²
+
+
2!
-
)" — 1] n
(i z) 2
(iz) 3
=
iz
+
Ferner ist:
lim [(1 +
n = 0
i
2
n
Andererseits gilt nach Obigem:
In (1 + iz)
1
½ In (1+z²) + i aretg z,
2!
+
2
1
+
+
-
+
(12)
iz
(iz)s
+