Kapitel II. Goniometrie.
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rationalen Exponenten ist vor allen Dingen die Bedeutung einer
solchen Potenz mit komplexer Basis festzustellen. Die Definition hat
ähnlich wie bei der Definition für reelle Basis auf Grund der Stetig-
keit zu erfolgen. Der Hauptwert von (cos x + i sin x) wird durch
die Forderung definiert, daß diese Funktion von p stetig ist.¹) Dem-
x
nach muß der Quotient (cos + i sin x) der 1 beliebig nahe kommen,
(cos xi sin x)'
wenn p' ein beliebig naher rationaler Näherungswert von p ist.
Angenommen, es wäre jetzt (cosx+i sinx) = (cos px + i sin px)4,
so müßte also
(cosx +isin .
(cos x + i sin x)p
=
(cos x + i sin x) (cos x + i sin x)-p'
(cos (p − p)x + i sin (p − p′)x) ≤
-
der 1 beliebig nahe kommen, indem man für p' einen beliebig nahen
rationalen Näherungswert von p setzt, was bei ▲ +1 offenbar unmög-
lich ist; denn dann wird sin (p-p')x = 0, cos (p − p)x = 1, also:
(cos(p-p)x + i sin (p −p')x)▲ - A.
-
Ausdehnung des binomischen Satzes auf komplexe Basis.²)
Setzen wir:
(1 − (?) tg² x + (?) tg¹ x
..) cos³ x =
(1)
((2) tg
х
-
(?) tg³ x + ...
..)
COS X = S
Spi
(2)
so haben wir oben (S. 241) die Richtigkeit der beiden Gleichungen:
cos px
sin px
=
=
Cpr
Sp
p
|x|
Π
für positive ganze Zahlen p bewiesen. Die Gültigkeit dieser Formeln
soll nunmehr für beliebige reelle p und < bewiesen werden.
Die beiden Reihen
sind offenbar konvergent für:
Cp
und Sp
1
tg x <1,
da dann die Summe der absoluten Werte der Glieder beider Reihen
(1+tg x) gibt.
1) Gewöhnlich definiert man: f(x) ist stetig, wenn xx so gewählt wer-
den kann, daß f(x) − f(x´) beliebig 0 wird. In vielen Fällen, wie auch oben,
ist nicht diese additive, sondern die multiplikative Definition vorzuziehen: f(x)
ist stetig, wenn xx so gewählt werden kann, daß
beliebig 1 wird.
2) Diese Ausdehnung vollzog zuerst Cauchy, Anal. alg., p. 296.
f(x)
f(x')
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