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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
Der Moivresche Satz.¹)
Es folgt aus dem Additionstheorem:
r
(cos x₁ + i sin x₁) (cos x₂ + i sin x)……. (cos x + i sin x„)
(cos x₁ + i sin x) (cos x + i sin x) = (cos x cos x - sin x₁ sin x)
+i(cosxsing + sin 2, cos ạ)
Ꮨ = cos(x1+x2) + i sin (x₁ + x)
also allgemeiner:
...
2 +xn).
(1)
Daraus folgt für x₁
X2
=
= X
(2)
n
= cos(x₁ + x2 + ··· + x)+ i sin (x₁ + x₂··· + x₂)
(cos x + i sin x)" = cos nx + i sin nx.
Das ist die Moivresche Formel); sie ist zunächst nur für ganzes
positives n bewiesen. Durch Vergleichung des imaginären und reellen
Teiles in den Formeln (1) und (2) ergeben sich die oben aus der-
selben Quelle, dem Additionstheorem, gefundenen Summations- und
Multiplikationsformeln.
Nun wird nach dem Moivreschen Satz:
COS
n
3 (m x + 2k x ) + i sin (m x + 2k x)]" =
also ist:
m
(cos x + i sin x)"
n
cosmx+isinmx = (cosx+i sinx)",
mx + 2kя
= COS
mx + 2k л
+ i sin
n
-
n
für jeden ganzzahligen Wert von k, so daß man für k = 0, 1, 2,..., n − 1
genau n Werte dieser nten Wurzel bekommt, also sind dies alle. Da
man jede komplexe Zahl a + ib vermittels ar cos q, br sin q,
Va²+ b², in die Form r (cos + i sin q) bringen kann, so wird
dadurch die Ausziehung der nten Wurzel aus einer komplexen Zahl
durch die aus einer reellen und die n-Teilung eines Winkels vermittelt.
Nunmehr ist die Richtigkeit der Formel:
(cosx + isin x) =
=
cospxi sin px
für negative und irrationale Werte des Exponenten p zu beweisen.
Es ist:
und
(cos + i sin x)º (cos x + i sin x)-” = 1
ང
(cos px + i sin px) (cos (— px) + i sin (— px)) = (cos² px + sin²px):
so daß die zu beweisende Formel für jeden negativen Exponenten
gilt, wenn sie für den entsprechenden positiven richtig ist. Bei ir-
1) Über dessen Entdeckungsgeschichte vgl. v. Braunmühl, Bibliotheca
mathematica 2 (1901), p. 97.
2) Phil. Trans. 309 (1707), p. 2368; Miscellanea analytica 1730.