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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
sin (a + ẞ) = sin a cos ẞ + cos a sin ß,
sin (a
B)
=
sin a cos B
-
cos a sin ẞ,
cos (a + B)
=
cos a cos ẞ-
-
sin a sin ẞ,
cos (α
-
B)
α
= cos a cos ẞ+ sin a sin ẞ.
Bis hierher sind die Funktionen nur für positive spitze Winkel er-
klärt worden. Aus dem Additionstheorem folgt für a = 0:
sin (B) =
cos (B)
=
=
-
sin ß,
cos ß;
was nunmehr allgemein gelten soll; dadurch sind sin und cos, also
auch die übrigen Funktionen für negative spitze Winkel erklärt.
Außerdem soll die für spitze Winkel offenbar geltende Formel:
sin ( 3 − a) =
-
= cos α
allgemein gelten. Damit ist es möglich, sin und cos für beliebig
große positive oder negative Winkel zu definieren.
In der Tat ergibt sich:
sin (a) = cos(-a)
COS
π
+
= cos α,
(~ + «) = sin (— α) — —
sina,
und daraus folgt allgemein, daß sin (a + k) für gerades k gleich
k
α
k
1) sine, für ungerades ✯ gleich (— 1)[*]
k
cos a ist; ebenso,
daß cos (« + k) für gerades & gleich (-1) cosa; für ungerades k
1)[*]
2
gleich (1) sina ist. Daraus ergibt sich die Richtigkeit der For-
meln des Additionstheorems für beliebig große positive oder negative
Winkel, wie folgt:
Zunächst gelten die Formeln für positive spitze Winkel « und ß
und mit Rücksicht auf
-
sin (a) sine und cos (-a)
= COS α
für positive und negative spitze Winkel. Nun können zwei beliebige
Winkel A und B stets in der Form angenommen werden:
=
α + ka,
A
B
В + hл,