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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
Hieraus ergibt sich durch Koeffizientenvergleichung die Formel¹):
+α₂
(− 1)m 8m – Σ(− 1)m − 1 (α, +αy + α + · · · - 1)!,
m
=
α1+2α₂+3α3+ ..=m
α₁!αg! α!...
Diese Formel ist zwar zunächst nur für reelle x1, x2, . . ., Xn herge-
leitet worden, weil die Gültigkeit der Reihen für e und In (1 + x) erst
später für imaginäre Argumente bewiesen werden kann. Nun sind aber
offenbar diese Formeln Identitäten, wenn man in ihnen für Sm, P1,
P2, P3,... ihre Ausdrücke in den x einsetzt, infolgedessen gelten
sie auch für imaginäre Größen x1, x2,..., Xµ·
mit
Die Formel:
1 + P₁t + P₂ť² +
=
S1 - Pi
2
-
S₂ = P₁² - 2P₂
Xn.
23
t- -82
+83
3
= e
P₁³-3P₁P₂+3ps usw.
S3
und
P1
$1
Pe
2
P3
=
-
+ usw.
6
2
3
ist von der Bedeutung der s; als Potenzsummen und der p, als ele-
mentar-symmetrischer Funktionen unabhängig. Man kann sie zum
Multiplizieren, Potenzieren usw. von Potenzreihen benutzen. Setzt man
S1=P, Spa, Spẞ,..., also:
p² - pa
p³-3p2a +2pß
P1 P, P2
2
, P3
6
"
usw., so haben diese Funktionen von p die Eigenschaften der Bino-
mialkoeffizienten:
und es wird
•
(P+9)= Pr+ Ph-11+ ··· + P₁9h−1 + In
1 + P₁ x + P₂ x² +
Die Annahme α = β
die Annahme a β
=
γ
=
(1 + 1¸x + 12x² + · · ·)P.
0 gibt:
1 + P₁ x + P²x² +
--
γ
-
1 gibt:
1 + (?') x + (?) x² +
=...
-
epx;
(1 + x)º; usw.
1) Waring, Meditationes algebraicae, ed. 3 (Cambridge 1770), p. 1.