Kapitel II. Grenzfälle algebraischer Formeln.
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Es wird
Logarithmenreihe.
lim
(1 + x)n
1
n
lim (x +
n = 0
n = 0
(x
(n
-1)
x²+
-
(n − 1) (n − 2)
-
1.2
1.2.3
23+
X3
= X
+
2
3
das werde mit
x < 1);
also <
1
x
(1+x) bezeichnet. Diese Reihe konvergiert für
dann ist
denn
2
|x| +
2
x² +
3
- Ꮖ
3
X
+ · · · < |x| + | x |² + |œ |³ + · ·
Für die Funktion ist
λ(1 + x) + λ(1 + y) = λ(1 + x + y + xy),
falls auch x + y + xy <1 ist.
Wir beweisen diese Relation, indem wir zeigen, daß in der
Gleichung:
(x + y)
x² + y²
x³ + y³
-
+
+
•
3)
2
3
(x + y + xy)³
(x + y + xy)
+
2
3
(x + y + xy)²
die Koeffizienten gleich hoher Glieder übereinstimmen.
nutzen wir die bereits auf S. 219 eingeführten Größen:
S = = x + y,
p = xy,
s₁ = x² + y".
In diesen lautet die zu beweisende Gleichung:
Dazu be-
S
2
3
+ — . : . = (8 + p ) − (" + p )² +
(s + p) ³
-
2
3
oder wenn wir auf die linke Seite die auf S. 220 abgeleitete Relation
n
n
2
anwenden:
8 − 1 ( 5 ² — [ ] » ) +
-
Sn
-
-[]
S"
-
2
'p + [2] s" - ¹ p²
¦ ( ³ ³
--
= (s +
3
—
–
[¡'] sp) — ¦ (s¹ — ['] **» +[''] »²) + ··
p) — (s + p)²
-
2
-
· − s²p
(s+p)³
+
2
3
1) Die Berechtigung zur Vertauschung der Grenzübergänge erhellt wie
oben S. 230.
2) Über ihre Konvergenz bei x = = 1 s. weiter unten.
3) Die Addition zweier konvergenter Reihen darf durch Addition ihrer
Glieder vollzogen werden, wie sich sofort durch Vergleich der Reste ergibt.