Kapitel II. Grenzfälle algebraischer Formeln.
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woraus, wie S. 39 geschlossen wird, daß F eine lineare Funktion ist.¹)
Fällt B mit A zusammen, so wird AOB = 0, und O(IJAB) = 1;
daraus folgt, daß F(0) = 0 ist. Demnach ist F(AOB) = = c. AOB,
wo c eine Konstante ist, die aber mit Rücksicht auf die Willkürlich-
keit von q gleich vier genommen werden kann.
Die gleichachsige Hyperbel vom Halbmesser 1 geht durch affine
Transformation (oder zwei Parallel projektionen) in die Hyperbel mit
den Halbmessern a, b über. Flächen werden dabei im Verhältnis
von 1: ab verändert. Der dem Sektor AOB der gegebenen Hyperbel
entsprechende Sektor der „Einheitshyperbel“ sei gleich«, also der
Sektor AOB selbst gleich
Wir können uns weiterhin auf die
Einheitshyperbel beschränken. Es ist
ab
2
α.
0(1JAB) = q²«,
wenn
AOB
α
2
4
ist. Die Basis q ist also derjenige Wert des Doppelverhältnisses, für
den der Sektor AOB den Wert hat. Ist jetzt A der Scheitel
(x=1,y=0), B ein dem A nahe gelegener Punkt, ▲ BOA = 1 §,
so ist OB 1, also Sektor BOA
O(IJAB)
sin 45°
- sin 450:
Also ist
sin (45)
-sin (45+)
1 + = 95,
und
1+tg
2
1+¦
1-tg. 1-44
je kleiner, d. h. es ist
.
1+ §.
und zwar um so genauer,
1
=
q lim (1 + §)
=0
das ist aber (s. o. S. 230) die definierende Eigenschaft der Zahl e.
Demnach ist
e2 = O(IJAB),
wenn der Sektor AOB = « ist.
1
a
2
1) F ist stetig, da mit B
A auch O(IJA B) == 1, also F(AOB) = 0 wird.
Über die unstetigen Lösungen s. G. Hamel, Math. Ann. 60 (1905), p. 459.