Kapitel II. Grenzfälle algebraischer Formeln.
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(wegen (1a) S. 225). Daraus folgt insbesondere
ee=1.
Jetzt soll die Formel¹)
ex
x
ex
bewiesen werden. Wegen
exe-x
-
1
=
= exe-x
(e = e₁)
genügt es, die fragliche Formel für positive x zu beweisen.
Für jede ganze Zahl n folgt aus (2) e,” e, folglich ist der reelle
1
positive Wert von e," e, also:
=
1
d. h.
x
n
m
e
" = e
m
n
e
m
772
n
ex=
=
ex
(3)
für positives rationales x. Um die Gleichung auch für irrationale x
zu beweisen, muß man beachten, daß (wegen (2)) e, mit positivem
wachsenden x wächst und größer als 1 ist. Wäre jetzt
ex = ex',
ist,
also x'>0 und es wäre z. B. x < x', so wähle man eine rationale
Zahlr so, daß x <r< x′ dann folgt: e<e,; also müßte
e <er sein, was unmöglich ist. Damit ist für beliebige reelle Ex-
ponenten bewiesen:
Aus
et = 1 +
x x²
+ +
1! 2!
Hyperbelfunktionen 2) und Hyperbelquadratur.
α α2
ea 1+ + +
1!
2!
und
α
1
+
[1743], p. 177; Introductio in analysin infinitorum [Lausanne 1748], p. 85) un-
bedenklich vollzog und Cauchy (Exercices d'analyse 4 [1847], p. 237) be-
gründete.
1) Cauchy, Analyse algébrique, p. 168.
2) Über diese vgl. z. B. Laisant, Essai sur les fonctions hyperboliques.
Paris 1874; S. Günther, Die Lehre von den Hyperbelfunktionen. Halle 1881.