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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
ist. Wäre nun z. B. pp, dann gäbe es eine rationale Zahl r,
so daß
p>r> p
ist. Dann wäre, wie oben gezeigt,
1 + (2) x + · · · < 1 + (1) x + ···
...
also:
(1 + x)p' < (1 + x)',
Ebenso wird die
was wegen pr' und 1 + x <1 unmöglich ist.
Annahme p'>p widerlegt. Damit ist der binomische Satz für reelle
x mit x1 und für beliebige reelle Exponenten bewiesen.
Binomialformeln.
Zu den beiden bisher aufgestellten Relationen für die Binomial-
koeffizienten:
2)
+
(¹) - () + (₁₁),
h
p
(+9)=() + ( 2 ) (1) + ( ² 2) () + + (),
h
deren erste in der zweiten für q = 1 enthalten ist, fügen wir noch
einige weitere hinzu, die wir später brauchen. Es ist:
und
also
(1 + x)³ = 1 + (2) x + (1) x² +
(2 1) .
(1 + x)− ( + ") = 1 − ( ? + ¹) x + ( ² + ² ) x ² — · · ·,
p+ h
h
(-1) (+)-(1 + x)-(+1) —
=
=
(q+h
h
-
Σ ( − 1 ) ' ' [(" + "') - ( + " ")()+(+^=")()).
h
Daraus folgt durch Koeffizientenvergleichung:
I. für pq+1 oder p- (g + 1) < 0
P+
h
(" — " + " ) = ( + ") (" + ") () + ( + =) () ---
² - =
oder wenn man q statt q + h setzt:
p
h
(7")=0)-C-10)+(-3) () ···
(2
h