Kapitel I. Algebraische Hilfssätze.
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also eine positive Summe; so daß auch in diesem Falle die Reihe
> 1 ist. Hieraus und aus der Formel (5) für q>0 folgt noch, daß
bei positivem x die Reihe mit wachsendem p wächst, bei negativem x
abnimmt.
Aus (5) folgt ferner:
(1 + ({') x + (2) x² + · · · )” = 1 + ("?) x + ("¹º) x² +
und für p
=
(²)
m
n
2
771
1+(?) x +
=
(1 + x)",
hierunter der reelle positive Wert verstanden.
Jetzt sei p eine irrationale positive Zahl und x positiv, es soll
die Richtigkeit von
(1 + x)² = 1 + (†) x +
bewiesen werden. Man kann bei gegebenem x stets p' so bestimmen, daß
1 + x +
=
(1+x)
(?)
ist.¹) Wäre nun z. B. p' <p, dann gäbe es eine rationale Zahlr
derart, daß
ist. Dann wäre, wie oben gezeigt:
p' < r < p
.
1 + (2) x + · · · > 1 + (1) x +
d. h.
(1 + x)p' > (1 + x)',
was wegen p'< r, 1 + x > 1 unmöglich ist. Ebenso wird die An-
nahme p'>p widerlegt. Demnach ist:
(1 + x)² = 1 + (?) x +
für beliebiges positives und damit nach dem, was oben bemerkt
wurde, auch negatives p bei positivem <1 bewiesen.
Für negatives x nehmen wir p negativ, und es sei wieder p'
so bestimmt, daß
1+
(1) x +
-
(1 + x)'
1) Ein irrationaler Exponent 2 wird nämlich (s. S. 225) eindeutig durch
die Forderung definiert, zwischen allen rationalen Exponenten 2 einerseits, ''
andererseits zu liegen, für welche die 'te (bzw. 2") Potenz einer gegebenen
positiven Zahl kleiner (bzw. größer) als eine andere gegebene positive Zahl ist.
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