Kapitel I. Algebraische Hilfssätze.
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Setzt man speziell a = 1, b = x, so wird die Binomialformel (1):
n
-1
(1) folgt. Schreibt man die Formel (1):
(1 + x)"
=
· 1 + n x + (m²) x² +
b
aus der umgekehrt für x
a
(a + b) n
n!
h = 0
an-ph
¡ (n −− h)! h! 9
--
(1 a)
so erhält man daraus durch wiederholte Anwendung die Polynomial-
formel:
n!
Σ
hk
-hk
an a'z
a k
a
(n − h₁ — h₂
-
Խ:)! ! ho!
hx!
(1b)
₁, hq, h = 0, · · ·, n
Für die Binomialkoeffizienten gilt noch folgende weitere Re-
lation, das Additionstheorem derselben¹):
q
(+9)=()+() (21) + (?) ( 22 ) + ···
Die Richtigkeit dieser Formel für positive ganze Zahlen p und
gibt sich durch Koeffizientenvergleichung aus:
(1 + x)(1 + x)² = (1 + x)² + 2.
(4)
ger-
Da diese Formel (4) also bei gegebenem q für unendlich viele
Zahlen p gilt, so gilt sie identisch für alle p und ebenso für alle q.
Nunmehr ist der binomische Satz auf irrationale Exponenten
auszudehnen. Zunächst ist a' zu definieren, wenn a positiv reell,
birrational ist: a' wird durch die Festsetzung definiert, daß es die-
jenige Zahl ist, welche zwischen allen Zahlen a" und a"" liegt, wobei
b' <b_und_b">b alle rationalen Zahlen sind. 2)
Es handelt sich also um den Beweis der Formel:
1 + (') x + (?) x² +
(1 + x)³
für beliebige reelle p.3) Vor allem ist die Konvergenz der Reihe:
1) L. Euler, Petrop. Comment. 19 ad annum 1774 (1775), p. 103.
2) Über die eindeutige Bestimmung einer irrationalen Zahl durch Vergleich
mit allen rationalen oder allgemeiner mit allen Zahlen einer „dichten" Menge
s. Vahlen, Abstrakte Geometrie (Leipzig 1905, p. 9, Satz 18). Die Potenzen von
a mit rationalen Exponenten a' liegen dicht, denn da a
土
​TIL
1 "
土
​n für großen beliebig
1 wird, kann a n einer beliebigen positiven Zahl beliebig gemacht werden.
3) Unbewiesen bei Newton 1. c., Eulers Beweis (1. c.) gilt zunächst nur für
rationale p, Erweiterung auf irrationale und Konvergenzfeststellung bei Cauchy,
Analyse algébrique (Paris 1821), p. 104, 153.
Vahlen: Konstruktionen u. Approximationen.
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