224
Sechster Teil. Analytische Approximationen.
X19 der
und 1,
xo
die beiden Werte von x, so liegt der eine zwischen
andere zwischen x, und x; diese können als Näherungswerte von x₁
und x angesehen werden. Nimmt man einen von ihnen für x, so
kommt man der betreffenden Wurzel x, oder x noch näher, usw.
Zum Beispiel liefert die Formel:
X1
für die Gleichung:
-b+ (n − 1) Vb-ac
ас
a
x³-7x-7=0
den auf zwei Stellen richtigen Näherungswert = 2√] – 3,05 …….,
=
und der zweite Schritt liefert bereits auf sieben Stellen richtig
3,0489154...
Binomischer Lehrsatz.
Der binomische Satz drückt sich durch die folgende Formel aus¹):
-1
(a + b)" = a" + (1) a” −¹ b + (~2)
an
-2
+b”.
a" - ³ b² + ··· + (1) a"-Pbx+···+b". (1)
Die „Binomialkoeffizienten":
()
=
n(n 1) (n 2) · (n − p + 1)
1.2.3 p
(2)
besitzen die folgende Fundamentaleigenschaft:
() + (+1)
in +
=
(3)
Wir beweisen die Binomialformel zunächst für den Fall, daß n
eine positive ganze Zahl ist; und zwar durch den Schluß von n auf
(n + 1).
Multipliziert man (1) beiderseits mit (a+b) so ergibt sich:
1
a"
(a + b)" + ' = a² + ¹ + { ('"') + 1} a'b + {(@") + (') } a" − ¹ b² + · ·
also, wegen (3):
=
1
n
·· + { (1)
+
(b + 1 ) }
71 a²-rbv
+1
•
+ + br+1,
+ (" + ¹) a″b +
+ (" + ¹) a² + 1 − p b " +
+b+1.
1) Aus Briefen J. Newtons vom 13. Juni und 24. Oktober 1676 an H. Oldem-
burg (Opuscula I, Lausanne und Genf 1744, p. 307, 328) geht hervor, daß er das
independente Koeffizientengesetz (2) vor 1676 gehabt hat; s. Wallis, Opera III,
634; Comm epistol. ed. Biot.-Lefort, p. 125. Die Rekursionsformel (3) hatte schon
Michael Stifel (Arithmetica integra, Nürnberg 1844, Fol. 44 b).