Kapitel I. Algebraische Hilfssätze.
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α + B + y +
a² + B² + y²+
-
S1,
Sq.
Dieser Fall wird auf den vorigen zurückgeführt, indem man statt α,
B, 7,
setzt:
$1
α
-
n
*, β
$1
--
•
n
also besteht hier die identische Relation:
oder:
( n − 1 ) ( 8. — 3, ") — n ( a − 2)²+Σ (b − y)²
—
n
= α
n
-
(na s₁)²+ n (ẞ − y)² = n(n − 1)s, — (n − 1)s,².
Demnach ist der absolut größte Wert von (na — s₁):
-
Vn(n − 1)s, — (n − 1)s₁².
-
―
Sind nun «, B, 7, ... die Wurzeln der Gleichung:
also:
ax" + nbx”-1+
n(n-1)
ca”-+
=
0,
n b
$1
a
n2b2
S₂
n(n - 1) ac
a²
so ergibt sich, daß für alle Wurzeln der Wert (ax+b) zwischen
und (n-1)Vbac liegt. Allgemeiner: eine Gleichung f(x)=0
vom Graden läßt sich nach dem Taylorschen Satz in die Form setzen:
+
1
=
1
n-1 1
2
f''
n-2
f(xo) ( x − x.)”+ ƒ′(xo) ( x − x.)" ¯ + ', ƒ˜″ (xo) (~ — x.)″ ¯ ² + · · · -
-
-
folglich ergibt sich, daß für jede Wurzel x der Ausdruck:
f(x) f'(x)
+
x-
n
0;
xo
zwischen den Grenzen
± (n − 1)
ff"
-
n2
n (n
1)
1
X-
-xo
f'Vn- 1) ² ƒ'"' 2 —— n ( n − 1) ƒf"
nt
oder was dasselbe ist:
zwischen den Grenzen
liegt, wo f= f(x。), f' = f'(x), f″= f'(x) ist.
Sind also ₁ und x, diejenigen beiden Wurzeln, zwischen denen
x liegt, und berechnet man aus der Gleichung:
X
1
-
xo
-
-fVn-1)-n (n-1) ff"
f' (n
nf