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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
ist, die gesuchte Wurzel:
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V q ± ir
8 ± √ s² - 4p
=
2
Demnach ist die Ausziehung einer Wurzel aus einer komplexen Zahl
zu bewerkstelligen durch Auflösung einer (Moivreschen) Gleichung mit
nur reellen Wurzeln. Daß auch umgekehrt die Auflösung einer durch
Wurzeln, aber nicht Quadratwurzeln auflösbaren Gleichung mit nur
reellen Wurzeln stets Wurzelausziehungen aus komplexen Zahlen er-
fordert, hat Hölder ¹) bewiesen. Dadurch erhält die Benennung „,casus
irreducibilis" bei kubischen Gleichungen mit drei verschiedenen reellen
Wurzeln erst ihre Berechtigung.
Wurzelgrenzen nach Laguerre.)
Es tritt vielfach die Frage auf, aus den Koeffizienten einer ge-
gebenen Gleichung, ohne die Gleichung aufzulösen, Grenzen für die
Wurzeln der Gleichung herzuleiten. Von den zahlreichen Sätzen, die
hierfür gegeben sind, interessiert uns an dieser Stelle nur ein Satz
von Laguerre, der sich allerdings nur auf Gleichungen mit lauter
reellen Wurzeln bezieht. Dieser bemerkenswerte Satz wird uns später
Approximationen für die Bogenteilung ergeben. Er ist verhältnis-
mäßig wenig bekannt, was wohl daran liegt, daß die Laguerresche
Herleitung nicht mit einfachen Mitteln erfolgt und nicht sehr durch-
sichtig ist. Schon Hermite hat eine etwas, aber nicht viel ein-
fachere Herleitung angegeben 3) Wir geben im folgenden eine ganz
elementare.
Es seien a, ẞ, y...n reelle Größen, die den Gleichungen ge-
nügen:
dann ist identisch:
α + B + x +
a² + B² + y² +
0,
-
S21
(n − 1) s₂ = n a² + (B − y)²,
(n-1)
woraus folgt, daß der absolut größte Wert, den « annehmen kann,
n
1
S2
n
ist.
Zweitens mögen die n reellen Zahlen den beiden Gleichungen
genügen:
p. 304
1) Math. Ann. 38 (1891), p. 307.
2) Nouv. ann. d. math. (2) 19 (1880), p. 161; Compt. rend. 90 (Paris 1880),
Oeuvres I (Paris 1898), p. 87, 104.
-
3) Oeuvres de Laguerre I, p. 461.