Kapitel I. Algebraische Hilfssätze.
221
reell und positiv ist; ferner wird:
r = Vp"-q³,
2q = x² + y",
also:
n
S= ·V q + ir + V q − ir
-
n
− V q + V q² — p² + V q − √ q² — p"
=
eine Wurzel der Gleichung:
sn
-2
2q.¹)
-
Und man erhält alle n, indem man q+ir die n Werte beilegt
und immer
Vq- ir
Р
n
Va + ir
nimmt. Demnach sind alle n Wurzeln reell.
Das gibt z. B.:
1. für n = 2, wenn wir pi statt p setzen:
V2q+2pi
=
±
√ q + √ q² + p² ± i V —− q + √ q² + p²,
so daß man also jede quadratisch irrationale Zahl in die Form a + bi
bringen kann, wo a und b reelle und durch reelle Radikale berechen-
bare quadratisch irrationale Zahlen sind;
2. für n
=
3
=
3:
=
für die Gleichung s³- 3ps 2q die Wurzeln
3
√ q + √ q² − p³ + √ q − √qª — p³ (Cardanische Formel?)),
3
-
'3
S2
=
Ε
q + √ q² —
p³
-
+ ¿² √ q − V q²
³ V − — p³
WO
Ɛ =
+ V-3
3
2
2
3
sz − ¿² V q + Vï² = p² + 1 V-Vq-list
ავ
=
− ɛ
76
Will man q + i r = x berechnen, so stelle man mit p=√ q²+ r²
zunächst die Gleichung:
-
− ['"]s”-²p +
2
2q
auf; hat man von dieser eine Wurzel s gefunden, so ist, da außerdem
P=Vq + ir · Vq- ir
Р
-
1) A. de Moivre (1667-1754), Phil. Trans. 1707, Nr. 309, p. 2368-2371.
2) Cardano, Ars magna de rebus Algebraicis Nürnberg 1545. Üb. d. Ge-
schichte s. p. 62 und Cantor II, p. 441.